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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Sa 23.08.2008 | | Autor: | mahmuder |
| Aufgabe | | Es sei e1, e2, e3, e4 die kanonische Basis von [mm] R^4 [/mm] und U der von u1 = e1+e2+e3+e4 und u2= e2+e4 erzeugte Untgervektorraum. Bestimmen Sie die Dimension des Quotientenraumes [mm] R^4/U [/mm] und geben Sie eine Basis des Raumes an. |
u1 und u2 sind offensichtlich l.u., also dim U = 2.
somit-> dim [mm] R^4/U [/mm] = 4-2 = 2
Und wie gehts dann jetzt weiter? Danke für die Hilfe
Gruß
mahmuder
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Hallo mahmuder,
> Es sei e1, e2, e3, e4 die kanonische Basis von [mm]R^4[/mm] und U
> der von u1 = e1+e2+e3+e4 und u2= e2+e4 erzeugte
> Untgervektorraum. Bestimmen Sie die Dimension des
> Quotientenraumes [mm]R^4/U[/mm] und geben Sie eine Basis des Raumes
> an.
> u1 und u2 sind offensichtlich l.u., also dim U = 2.
> somit-> dim [mm]R^4/U[/mm] = 4-2 = 2
>
> Und wie gehts dann jetzt weiter? Danke für die Hilfe
Jetzt mußt Du [mm]u_{3}, \ u_{4}[/mm] finden, so daß
[mm]u_{1}, \ u_{2}, \ u_{3}, \ u_{4}[/mm] eine Basis des Raumes ist.
>
> Gruß
> mahmuder
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 So 24.08.2008 | | Autor: | mahmuder |
Ja und wie?:)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 So 24.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also du hast [mm] (e_1, [/mm] ..., [mm] e_4) [/mm] als Basis von [mm] \IR^4 [/mm] und [mm] (u_1, u_2) [/mm] als Basis von U.
Jetzt brauchst du eine Basis von [mm] \IR^4 / U [/mm].
Wie sieht dieser Raum aus? Er besteht aus Äqivalenzklassen, d.h. deine Basisvektoren müssen solche Äquivalenzklassen sein.
Zwei Vektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] liegen in derselben Äquivalenzklasse, wenn [mm] v_1 - v_2 \in U [/mm] ist.
Es gilt [mm] u_1 [/mm] + U = [mm] u_2 [/mm] + U, und das ist der Nullvektor in [mm] \IR^4 / U [/mm] (warum?).
Wenn du also jetzt [mm] (u_1, u_2) [/mm] zu einer Basis [mm] (u_1, [/mm] ..., [mm] u_4) [/mm] des ganzen [mm] \IR^4 [/mm] ergänzt, dann betrachte die beiden Vektoren [mm] u_3 [/mm] + U und [mm] u_4 [/mm] + U des [mm] \IR^4 / U [/mm].
Diese sind verschieden vom Nullvektor (warum?) und linear unabhängig (warum?).
Und da die Dimension von [mm] \IR^4 / U [/mm] = 2 ist, sind das deine gesuchten Basen.
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