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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Di 13.07.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo zusammen!
Ich kann bei der folgenden Aufgabe die Behauptung mit der Dimension nicht beweisen bzw. komme nicht auf das Ergebnis. Vielleicht könntet ihr mir dabei helfen.
Die Aufgabe lautet:
Ist V ein K-Vektorraum der Dimension n mit Basis [mm] B=(v_1,...,v_n), [/mm] so geben sie eine Basis für [mm]\vee ^r V [/mm] an und zeigen sie, dass [mm] dim \vee ^r V = {n+r-1 \choose r} [/mm]. ([mm]\vee ^r V [/mm] ist k-Modul)
Vielen Dank im vorraus
Nick.
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Hm, das ist beinahe offensichtlich, wenn man eine Tatsache aus der Kombinatorik voraussetzt:
Es gibt genau [mm] {n+r-1 \choose r} [/mm] Möglichkeiten, r (unterscheidbare) Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen, falls man dies mit Zurücklegen tut, aber die Reihenfolge nicht wichtig ist.
Wenn man das einsieht, ist das Dimensionsargument nicht schwer: es geht um den Raum der symmetrischen r-Mulitlinearformen. Nehmen wir uns eine Basis von V her, so ist eine Multilinearform dadurch eindeutig bestimmt, was sie auf den Tupeln von Basisvektoren tut. Mit anderen Worten, wir müssen die Bilder für jedes mögliche Tupel von Basisvektoren festlegen, um uns eine solche Form zu basteln - und wieviele Möglichkeiten gibt es da? Man muß r Elemente aus der Basis wählen, man darf Basiselemente merhfach wählen, aber die Reihenfolge spielt keine Rolle, da die Form ja symmetrisch sein soll.
Jede Form wird also durch die Angabe von [mm] {n+r-1 \choose r} [/mm] Elementen des Körpers eindeutig bestimmt (und umgekehrt gibt es natürlich auch zu jeder solcher Angabe eine Form), daher kann der Raum der symmetrischen r-Formen mit [mm] K^{n+r-1 \choose r} [/mm] identifiziert werden.
Lars
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