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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Dimension
Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dimension: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Do 31.01.2008
Autor: SusanneK

Aufgabe
Seien V, W und U endlichdimensionale VR über einem Körper K. Seien [mm] f: V \to W [/mm] und [mm] g: W \to U [/mm] linear. Seien f injektiv, g surjektiv und Bild(f)=Kern(g).
Bweisen Sie, dass [mm] dim(W)=dim(V)+dim(U) [/mm] gilt.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Mein Beweis geht folgendermassen:
f injektiv bedeutet Kern(f)=0
Daraus folgt:
dim(V)=dim(Bild(f))+0, also ist dim(V)=dim(W)
Wenn Bild(f)=Kern(g) sein soll, dann ist W der Kern von g und damit muss g die Nullabbildung sein. Damit ist U={0} und dim(U)=0.
Dann gilt:
dim(W)=dim(V)+0

Stimmt dieser Beweis ?
Ich habe eine Lösung zu diesem Beweis, wo viel mit dem Homomorphiesatz und V/Kern(f) argumentiert wird, also völlig anders als meine Beweisführung.

Danke, Susanne.

        
Bezug
Dimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Do 31.01.2008
Autor: angela.h.b.


> Seien V, W und U endlichdimensionale VR über einem Körper
> K. Seien [mm]f: V \to W[/mm] und [mm]g: W \to U[/mm] linear. Seien f
> injektiv, g surjektiv und Bild(f)=Kern(g).
>  Bweisen Sie, dass [mm]dim(W)=dim(V)+dim(U)[/mm] gilt.
>  Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> Mein Beweis geht folgendermassen:
>  f injektiv bedeutet Kern(f)=0
>  Daraus folgt:
>  dim(V)=dim(Bild(f))+0, also ist dim(V)=dim(W)

Hallo,

dieser Folgerung folge ich nicht.

Es ist dimV=dimBildf + dimKernf=dimbildf,

aber daß das =dimW ist, sehe ich nicht, denn es ist ja nicht vorausgesetzt, daß f surjektiv ist.


>  Ich habe eine Lösung zu diesem Beweis, wo viel mit dem
> Homomorphiesatz und V/Kern(f) argumentiert wird, also
> völlig anders als meine Beweisführung.

Hmm. Ich würde das mit den genannten Eigenschaften der Funktionen und dimV=dimV=dimBildf + dimKernf  und dimW=dimBildg + dimKerng machen wollen.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Dimension: Danke !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Do 31.01.2008
Autor: SusanneK

VIELEN DANK Angela !

Ja, klar, mein Fehler war, dass ich Bild(f)=W gesetzt habe, und das kann man ja nicht vorraussetzen.
Danke.

Bezug
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