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| Aufgabe | Sei P [mm] \subset \IR^{3} [/mm] definiert durch
[mm] x_{1}+x_{3}\le [/mm] 1
[mm] x_{1}+x_{2}+2x_{3}\le2
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=1
[/mm]
[mm] x_{1}\ge0
[/mm]
[mm] x_{2}\ge0
[/mm]
[mm] x_{3}\le2
[/mm]
Bestimmen Sie dimP.
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Hallo
Ich habe hier schon einiges versucht. Als erstes habe ich versucht eine Matrix zu erstellen und diese auf ZSF zu bringen.
Die Matrix die ich da raus bekommen hatte, konnte ich nicht lösen.
Danach habe ich versucht es zu Zeichnen, wodurch habe ich die Lösung raus gekriegt habe, aber ich habe keine Ahnung, wie ich das Mathematisch aufschreiben los.
Aus der Zeichnung habe ich raus gefunden, dass die Dimension 3 sein muss. Auserdem geht die Zeichnung in einer Richtung ins Unendliche.
Kann einer mir helfen?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Sa 01.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Also ich verstehe es so, dass [mm] $P\in\IR^3$ [/mm] diejenige Menge ist, deren Elemente alle diese 6 Gleichungen bzw. Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Das ist doch sicherlich nichtmal ein Vektorraum oder täusche ich mich da? Was soll dann die Dimension sein? Oder geht es hier um irgendwelche Mannigfaltigkeiten?
Gruß, Robert
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Danke für die schnelle Antwort.
@Robert. Die Dimension, gibt doch die Anzahl der Basis Vektoren an. Ich kann doch z.b [mm] e_{1},e_{2},e_{3} [/mm] wählen.
Ich habe gerade eine neue Idee gekriegt.
In dem Skript der Vorlesung steht, dass dim P=r-1 mit r=maximale Anzahl aff. unabh. Vektoren.
Ein weiterer Satz: [mm] x_{1},..x_{r} [/mm] sind genau dann affin. unabh, falls [mm] (x_{1}-x_{r},x_{2}-x_{r},..x_{r-1}-x_{r}) [/mm] linear unab. sind.
Wäre der Ansatz richtig? Jetzt frage ich mich nur, wie ich [mm] x_{1}... x_{r} [/mm] darstellen kann.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 So 02.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> @Robert. Die Dimension, gibt doch die Anzahl der Basis
> Vektoren an. Ich kann doch z.b [mm]e_{1},e_{2},e_{3}[/mm] wählen.
Ja, aber der Punkt ist, dass diese Dimension nur für Vektorräume erklärt ist, aber $P$ ist kein VR, denn z.B. ist [mm] $p=(0,0,1)\in [/mm] P$, aber [mm] $2\cdot p=(0,0,2)\not\in [/mm] P$, da dann die 2. Bedingung nicht mehr erfüllt ist. Die Aufgabe macht so also überhaupt keinen Sinn!
Gruß, Robert
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> Sei P [mm]\subset \IR^{3}[/mm] definiert durch
> [mm]x_{1}+x_{3}\le[/mm] 1
> [mm]x_{1}+x_{2}+2x_{3}\le2[/mm]
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=1[/mm]
> [mm]x_{1}\ge0[/mm]
> [mm]x_{2}\ge0[/mm]
> [mm]x_{3}\le2[/mm]
> Bestimmen Sie dimP.
> Aus der Zeichnung habe ich raus gefunden, dass die
> Dimension 3 sein muss.
Hallo,
das kann ja überhaupt nicht sein.
Ich nehme mal an, daß mit Dimension hier die Dimension eines affinien Raumes gemeint ist - das, was Du in der zweiten Frage mitteilst, deutet jedenfalls stark daraufhin.
Ich nehme außerdem an, daß P die Lösung des obigen Ungleichungssystems sein soll.
Offensichtlich ist die Lösungsmenge eine Teilmenge der durch [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 [/mm] beschriebenen Ebene, kann also, falls es ein affiner Raum sein sollte, höchstens die Dimension 2 haben.
Wenn ich nichts falsch gemacht habe, reduziert sich obiges Ungleichungssystem zu
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=1
[/mm]
[mm] x_{1}\ge0
[/mm]
[mm] x_{2}\ge0
[/mm]
[mm] x_3 \le [/mm] 1.
Hier müßtest Du nun überlegen, für welche Punkte der genannten Ebene das der Fall ist.
Gruß v. Angela
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