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| Aufgabe | Über die Untervektorräume U,W [mm] \in \IR^{10} [/mm] ist nur bekannt, dass dim(U)=7 und dim(W)=4 ist.
1)Welche Werte für dim(U+W) sind möglich?
2) Geben sie für jeden möglichen Wert von dim(U+W) ein Beispiel an, das diesen Wert realisiert. |
Unter der Dimension verstehe ich erstmal so viel, dass sie die Mächtigkeit eines maximalen Systems linear unabhängiger Vektoren bezeichnet.
Also wäre das bei U doch so, dass 7 linear unabhängige Vektoren die Basis von U bilden. Und bei W wären es 4?!
und dim(U+W) bzw. deren Werte bestimme ich jetzt wie?
Muss ich da die Dimensionsformel anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas,
> Unter der Dimension verstehe ich erstmal so viel, dass sie
> die Mächtigkeit eines maximalen Systems linear
> unabhängiger Vektoren bezeichnet.
Ja.
> Also wäre das bei U doch so, dass 7 linear unabhängige
> Vektoren die Basis von U bilden. Und bei W wären es 4?!
EINE Basis bilden, nicht DIE Basis. Es gibt schließlich zahlreiche Basen von U und W.
> und dim(U+W) bzw. deren Werte bestimme ich jetzt wie?
> Muss ich da die Dimensionsformel anwenden?
Das ist möglich, ja.
Auch ohne Dimensionsformel lassen sich die möglichen Werte für [mm] $\dim(U+W)$ [/mm] eingrenzen: Da [mm] $U\subseteq [/mm] U+W$ ein Untervektorraum ist, gilt [mm] $7=\dim(U)\le\dim(U+W)$. [/mm] Da [mm] $U+W\subseteq \IR^{10}$ [/mm] ein Untervektorraum ist, gilt [mm] $\dim(U+W)\le\dim(\IR^{10})=10$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Ja ok, das "DIE" Basis war falsch gewählt. Gibt ja unendliche viele Basen.
Das heißt also, die möglichen Werte für dim(U+W) sind 7 und 10.
Und ich soll nun jeweils ein Beispiel angeben, heißt das, das ich eine Basis von (U+W) finden muss?
Oder was ist mit Beispiel gemeint?
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Hallo,
> Ja ok, das "DIE" Basis war falsch gewählt. Gibt ja
> unendliche viele Basen.
> Das heißt also, die möglichen Werte für dim(U+W) sind 7
> und 10.
Nein, die möglichen Werte sind aus [mm] \{7;8;9;10\}
[/mm]
> Und ich soll nun jeweils ein Beispiel angeben, heißt das,
> das ich eine Basis von (U+W) finden muss?
> Oder was ist mit Beispiel gemeint?
Da kann ich dir jetzt eher auch nur raten dir zu überlegen, in welcher Form die Antwort erwartet wird. Du kannst das durch Angabe einer Basis machen, oder man kann ja Untervektorräume auch durch Parameterformen beschreiben.
Gruß, Diophant
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Angenommen ich will Beispiele mit Hilfe von Basen zeigen...
Heißt das für dim(U+W)=7 z.B. muss ich 7 lin. unabhängige Vektoren finden und bei dim(U+W)=8 eben 8 Vektoren... aber das erscheint mir äußerst sinnfrei... hab ich was falsch verstanden?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 16.11.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
nimm doch die Standardbasis des [mm] R^3 e_1 [/mm] bis e_10
für dim 7 die ersten 7 für V, die ersten 4 für W,
dim 8, 9,10 entsprechend.
sinnig ist es, weil es punkte in der Klausur bringt!
Gruss leduart
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Naja die Stnadardbasisvektoren des [mm] R^3 [/mm] sind ja [mm] e_1 [/mm] =(1,0,0) [mm] e_2 [/mm] =(0,1,0) [mm] e_3 [/mm] =(0,0,1) und wie bestimm ich die anderen 7 stück? dürfen ja nur 1en und 0en drin vorkommen, also könnte ich da [mm] e_4 [/mm] =(1,1,0) und [mm] e_5 [/mm] =(1,0,1) und so weiter nehmen?
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Hallo,
> Naja die Stnadardbasisvektoren des [mm]R^3[/mm] sind ja [mm]e_1[/mm] =(1,0,0)
> [mm]e_2[/mm] =(0,1,0) [mm]e_3[/mm] =(0,0,1) und wie bestimm ich die anderen 7
> stück? dürfen ja nur 1en und 0en drin vorkommen, also
> könnte ich da [mm]e_4[/mm] =(1,1,0) und [mm]e_5[/mm] =(1,0,1) und so weiter
> nehmen?
hm, was verstehst du denn unter dem Begriff Dimension, wie viele Koordinaten muss ein Vektor aus dem [mm] \IR^{10} [/mm] wohl haben?
Gruß, Diophant
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Oh, mist.
Vektoren aus dem [mm] R^{10} [/mm] ham ja 10 Koordinaten... dann wäre das also
[mm] e_1 [/mm] =(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0) [mm] e_2 [/mm] =(0,1,0,0,0,0,0,0,0,0) und so weiter...
Also heißt das, dass ich für dim=7 die Vektoren [mm] e_1 [/mm] bis [mm] e_7 [/mm] für U und [mm] e_1 [/mm] bis [mm] e_4 [/mm] für W nehme und deren lin. unabhängigkeit zeige
Aber da hab ich nen Verständnisproblem... ich hab doch dann 11 Standardbasisvektoren, wo sind 4 doppeln...
wie mach ich das dann bei dim 8 ?
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Hallo,
Folgendes nachschlagen würde helfen:
- was ist ein Untervektorraum?
- was versteht man unter der Summe U+V zweier solcher Unterräume?
Gruß, Diophant
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