Dimension - Verständnisfrage < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=387431
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?
aber leider keine Antwort erhalten, daher wende ich mich vetrauensvoll an Euch:
ich habe eine kleine Verständnisfrage.
Die Dimensions eines Unterraums entspricht ja immer der Anzahl der l.u. Eigenvektoren bzw. der Basis.
Was mich stutzig macht ist folgendes:
Früher in der Schule lernte man: Punkte (x,y) sind zweidimensional. Vektoren (x,y,z)T sind dreidimensional etc.
Sagen wir mal mein durch eine Abbildungsmatrix erzeugter Unterraum hat die Dimension 2. Meine zwei Basisvektoren haben aber 4 Einträge (x1, x2, x3, x4)T
Wie passt das zusammen? Dimension 2 aber "4-Dimensionale" Vektoren?
Herzlichen Dank für Hinweise!
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hallo funkyman,
> Die Dimension eines Unterraums entspricht ja immer der
> Anzahl der l.u. Eigenvektoren bzw. der Basis.
> Was mich stutzig macht ist folgendes:
> Früher in der Schule lernte man: Punkte (x,y) sind
> zweidimensional. Vektoren [mm] (x,y,z)^T [/mm] sind dreidimensional
So stimmt das eigentlich nicht. Ein Punkt ist nulldimensional.
Die Menge aller Punkte P(x/y) mit [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] y\in\IR, [/mm] also
die x-y-Ebene, ist zweidimensional. Eine Gerade ist eindimensional.
> Sagen wir mal mein durch eine Abbildungsmatrix erzeugter
> Unterraum hat die Dimension 2. Meine zwei Basisvektoren
> haben aber 4 Einträge (x1, x2, x3, [mm] x4)^T
[/mm]
> Wie passt das zusammen? Dimension 2 aber "4-Dimensionale"
> Vektoren?
Ein Vektor im vierdimensionalen Raum [mm] \IR^4 [/mm] hat natürlich
4 Komponenten. Der Vektor selbst entspricht aber auch nur
einem Punkt im [mm] \IR^4, [/mm] und dieser Punkt ist nulldimensional.
Der von einem Vektor (ungleich dem Nullvektor !) aufgespann-
te Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] entspricht einer Nullpunktsgeraden
im [mm] \IR^4 [/mm] und ist eindimensional. Zwei voneinander linear
unabhängige Vektoren spannen zusammen einen zweidim.
Unterraum auf.
LG
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>Ein Vektor im vierdimensionalen Raum hat natürlich
>4 Komponenten. Der Vektor selbst entspricht aber auch nur
>einem Punkt im und dieser Punkt ist nulldimensional.
>Der von einem Vektor (ungleich dem Nullvektor !) aufgespann-
>te Unterraum des entspricht einer Nullpunktsgeraden
>im und ist eindimensional
Herzliche Dank für die schnelle Antwort!
Also kann ich mir das so vorstellen:
Ich habe eine Abbildung vom R³, bei der letzlich zwei Basisvektoren entstehen um den Bildraum aufzuspannen.
Die Punkte, die vorher im Dreidimensionalen "lebten", werdenn dann auf eine Gerade abgebildet ?
Also sagen wir ich hatte zuvor einen Tetraeder, definiert durch Vektoren. Wende ich nun die Abbildungsmatrix an, wird dieser auf einer Geraden abgebildet. Anschaulich beispielsweise der "Schatten" bzw. die Projektion des Tetraeders auf die Gerade oder?
Und die Dimension, die bei der Abbildung verlorengeht, "landet" sozusagen im Nullraum (anschaulich)
Ist das so in etwa korrekt?
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> Also kann ich mir das so vorstellen:
> Ich habe eine Abbildung vom R³, bei der letzlich zwei
> Basisvektoren entstehen um den Bildraum aufzuspannen.
ich nehme einmal an, du meinst eine Abbildung vom [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^3 [/mm] ...
wenn dann der Bildraum zwei (unabhängige) Basisvektoren
besitzt, ist der Bildraum geometrisch gesehen eine Ebene (nicht Gerade)
> Also sagen wir ich hatte zuvor einen Tetraeder, definiert
> durch Vektoren. Wende ich nun die Abbildungsmatrix an, wird
> dieser auf einer Geraden Ebene abgebildet. Anschaulich
> beispielsweise der "Schatten" bzw. die Projektion des
> Tetraeders auf die Geraden Ebene oder?
Ja, das Bild mit dem Schatten oder der Projektion ist gut !
> Und die Dimension, die bei der Abbildung verlorengeht,
> "landet" sozusagen im Nullraum (anschaulich)
wenn du das so ausdrücken willst ... ok
> Ist das so in etwa korrekt?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
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