Dimension/Basis UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm]\IQ[/mm] der Körper der rationalen Zahlen und n eine positive ganze Zahl. Im [mm]\IQ^n[/mm] betrachten wir die Untervektorräume [mm]\{U=(\lambda_1,...,\lambda_n)\in\IQ^n\left|\lambda_1+...+\lambda_n = 0\}[/mm] und [mm]\{V = (\lambda,...,\lambda)\in\IQ^n\left|\lambda\in\IQ\}[/mm]. Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von [mm]U,V,U\capV,U+V[/mm]. |
Hallo zusammen,
eine kurze Frage zu dieser Aufgabe: Basis von V ist (1,....,1) und somit ist V eindimensional. Der Schnitt der beiden Untervektorräume ist trivial, hat also Dimension 0. Da dann laut Dimensionssatz [mm]dim(V)+dim(U)=dim(U+V)[/mm] und außerdem [mm]dim(U+V)\le dim(\IQ^n)=n[/mm] gilt, kann die Basis von U maximal n-1 elementig sein. Und das kann ich nicht nachvollziehen, da ich nicht weiß wie U erzeugt werden soll, ohne alle n Einheitsvektoren zu benutzen?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Gruß Hanna
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Einheitsvektoren liegen doch gar nicht in U? du hast die Bed [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i = 0[/mm]
vergessen. 1 möglicher Basisvektor ist also (1,-1,0....) usw.
Gruss leduart
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> Die Einheitsvektoren liegen doch gar nicht in U? du hast
> die Bed [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i = 0[/mm]
> vergessen. 1
> möglicher Basisvektor ist also (1,-1,0....) usw.
Ach so, dann hätte ich also Basis-Vektoren der Form (1,-1,0....), (1,0,-1....), (1,0,0,-1....), ....., (1,0,...,-1,0),(1,0,...,0,-1) und anschaulich ist mir auch klar, dass es n-1 Vektoren sind, nur wie formalisiert man die Aussage?
Gruß Hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
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> > Die Einheitsvektoren liegen doch gar nicht in U? du hast
> > die Bed [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i = 0[/mm]
> > vergessen. 1
> > möglicher Basisvektor ist also (1,-1,0....) usw.
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> Ach so, dann hätte ich also Basis-Vektoren der Form
> (1,-1,0....), (1,0,-1....), (1,0,0,-1....), .....,
> (1,0,...,-1,0),(1,0,...,0,-1) und anschaulich ist mir auch
> klar, dass es n-1 Vektoren sind, nur wie formalisiert man
> die Aussage?
Die von Dir angegebenen n-1 Vektoren sind Elemente von U und sie sind linear unabhängig (das solltest Du noch zeigen !)
Da U ein echter Unterraum von [mm] \IQ^n [/mm] ist , hat man: dim U = n-1
FRED
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> Gruß Hanna
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