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| Aufgabe | Eine quadratische Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spaltenvektoren eine Basis von [mm] \IK^n [/mm] bilden.
Nach Korollar ist dies genau dann der Fall, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Ebenso ist A genau dann invertiervar wenn die ihre Spaltenvektoren ein Erzeugendensystem von [mm] \IK^n [/mm] bilden. |
Ich hab so meine SChwierigkeiten mit dem Verständnis des Satzes.
> Eine quadratische Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spaltenvektoren eine Basis von [mm] \IK^n [/mm] bilden.
Ist mir noch klar, der rest nicht mehr.
Das Korollar lautet:
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und [mm] v_1,...,v_n [/mm] ein sytem von n Vektoren in V. Dann sind äquivalent:
a) [mm] v_1,..,v_n [/mm] ist eine Basis von V
[mm] b)v_1,..,v_n [/mm] ist linear unabhängig in V
[mm] c)v_1,..,v_n [/mm] ist ein Erzeugendensystem von V
Anscheinend komme ich mit dem korollar auch nicht zurrecht.
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> Eine quadratische Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm] ist
> genau dann invertierbar, wenn ihre Spaltenvektoren eine
> Basis von [mm]\IK^n[/mm] bilden.
> Nach Korollar ist dies genau dann der Fall, wenn die
> Spaltenvektoren linear unabhängig sind.
Du hast n Spaltenvektoren [mm]v_1,\ldots,v_n[/mm], die linear unabhängig in [mm]V=\mathbb{K}^n[/mm] sind (äquivalent laut Korollar zur der Aussage a) . Sie sind eine Basis.)
> dann invertiervar wenn die ihre Spaltenvektoren ein
> Erzeugendensystem von [mm]\IK^n[/mm] bilden.
Du hast n Spaltenvektoren , die ein Erzeugendensystem von [mm] $V=\mathbb{K}^n$ [/mm] bilden (äquivalent laut Korollar zur der Aussage a) . Sie sind eine Basis.)
> Ich hab so meine SChwierigkeiten mit dem Verständnis des
> Satzes.
> > Eine quadratische Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm] ist
> genau dann invertierbar, wenn ihre Spaltenvektoren eine
> Basis von [mm]\IK^n[/mm] bilden.
Das ist ja Aussage a) vom Korollar.
> Ist mir noch klar, der rest nicht mehr.
>
> Das Korollar lautet:
> Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und [mm]v_1,...,v_n[/mm] ein
> sytem von n Vektoren in V. Dann sind äquivalent:
> a) [mm]v_1,..,v_n[/mm] ist eine Basis von V
> [mm]b)v_1,..,v_n[/mm] ist linear unabhängig in V
> [mm]c)v_1,..,v_n[/mm] ist ein Erzeugendensystem von V
> Anscheinend komme ich mit dem korollar auch nicht
> zurrecht.
>
Du hast oben drei Charakterisierungen von Invertierbarkeit.
Die Spaltenvektoren [mm] $v1,\ldots,v_n$ [/mm] brauchen nur linear unabhängig zu sein, dann sind sie automatisch eine Basis in [mm] $V=\mathbb{K}^n$ [/mm] und somit ist die Matrix invertierbar.
Die Spaltenvektoren [mm] $v1,\ldots,v_n$ [/mm] brauchen nur ein Erzeugendensystem von [mm] $V=\mathbb{K}^n$ [/mm] zu sein, dann sind sie automatisch eine Basis in [mm] $V=\mathbb{K}^n$ [/mm] und somit ist die Matrix invertierbar.
Die Spaltenvektoren [mm] $v1,\ldots,v_n$ [/mm] sind eine Basis in [mm] $V=\mathbb{K}^n$ [/mm] und somit ist die Matrix invertierbar.
Oder sind die Äquivalenzbeziehungen im Korollar nicht klar?
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vielen dank!
> Oder sind die Äquivalenzbeziehungen im Korollar nicht klar?
Ja an denen scheitert das Verständnis etwas!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen dank!
>
> > Oder sind die Äquivalenzbeziehungen im Korollar nicht
> klar?
> Ja an denen scheitert das Verständnis etwas!
an was genau scheiterst Du?
(An einem Beweisschritt (wenn ja: welcher?)? Du scheiterst, weil Du vergessen hast, was eine Basis ist und wie man eine Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums charakterisieren kann? Oder oder oder...)
Buchtipp: Bosch, lineare Algebra. Wenn Du den (äquivalenten) Satz da findest, und den Beweis durchgearbeitet hast, solltest Du das hier verstehen.
Tipp: Mach' Dir das ganze mal am [mm] $\IR^2$ [/mm] und einer reellen $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix klar!
Gruß,
Marcel
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