Dimension bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:36 Mi 28.04.2010 | | Autor: | juno88 |
... diesen Text hier...
Es seien a,b,c,d ϵ [mm] R^3 [/mm] gegebenn durch
a = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
b = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
c= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
und
d [mm] =\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}
[/mm]
U= [a,b,c] c [mm] R^3 [/mm] sei der von den Vektoren a, b, und c aufgespannte Unterraum. Bestimmen sie die dimension von U und prüfen Sie, ob d ϵ U gilt. Berechnen Sie weiter die orthogonale Projektion von d auf den Unterraum U und berechnen Sie den Abstand von d zu U in der euklidischen Norm.
Also um die Dimension (dimU ) zu berechnen bin so vorgegangen: Sei [mm] V=R^3 [/mm] und U= [a,b,c]= [mm] [\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] ]. Es gitl c = α [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + β [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] (also: α= 2 und β= 2
Und a, b sind linear unabhängig, folgt U= [a,b] und dimU= 2
Und um zu prüfen ob d ϵ U :
Löse ich: α= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + β [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} [/mm] + γ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}
[/mm]
Bekomme für α= 3, β= 3 und γ= 0
Bei der orthogonalen Projetkion bin ich mir net sicher ob ich jetzt vom Unterraum mit dimU= 2 oder dimU= 3 gehen soll .
Ansatz: d= [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}
[/mm]
U= [mm] [\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] ].
Mit <a,b> = 0 und [mm] a_b [/mm] = αb
Jetzt häng ich fest. wollte mal wissen ob bis jetzt alles ok ist oder irgendwas falsch ist
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo juno88 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
eine Teilantwort:
> ... diesen Text hier...
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> Es seien a,b,c,d ϵ [mm]R^3[/mm] gegebenn durch
>
> a = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> b =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> c=
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> und
> d [mm]=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> U= [a,b,c] c [mm]R^3[/mm] sei der von den Vektoren a, b, und c
> aufgespannte Unterraum. Bestimmen sie die dimension von U
> und prüfen Sie, ob d ϵ U gilt. Berechnen Sie weiter die
> orthogonale Projektion von d auf den Unterraum U und
> berechnen Sie den Abstand von d zu U in der euklidischen
> Norm.
>
> Also um die Dimension (dimU ) zu berechnen bin so
> vorgegangen: Sei [mm]V=R^3[/mm] und U= [a,b,c]= [mm][\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> , [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] ]. Es gitl c = α
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + β
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] (also: α= 2
> und β= 2
>
> Und a, b sind linear unabhängig, folgt U= [a,b] und dimU= 2 [ok
>
> Und um zu prüfen ob d ϵ U :
>
> Löse ich: α= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + β [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}[/mm] + γ [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}[/mm]
Der Vektor [mm] $\vektor{2\\0\\2}$ [/mm] ist doch redundant, den kannste weglassen!
>
> Bekomme für α= 3, β= 3 und γ= 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ergäbe den Vektor [mm] $\vektor{3\\0\\\red{+}3}$
[/mm]
[mm] $\vec{d}$ [/mm] liegt nicht im [mm] $\operatorname{Span}\left(\vec{a},\vec{b}\right)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mi 28.04.2010 | | Autor: | juno88 |
ups, stimmt ja also ist d keinen element vom unterraum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Fr 30.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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