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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 So 11.12.2011 | | Autor: | Zelda |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern F und Bild F für die Standartinterpretation [mm]F=F_{A} [/mm] von [mm]A=\pmat{0 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 0 & 2 & 1\\
0 & 3 & 0 & 3 & 0}\in\IR^{3x5}. [/mm] |
Vor.: [mm]A=\pmat{0 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 0 & 2 & 1\\
0 & 3 & 0 & 3 & 0}\in\IR^{3x5}, F=F_{A}[/mm]
Beh.:i.) Dim Bild F= 3
ii.)Dim Kern F= 1
i.) Die Matrix A durch Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen.
(...) Aus der Matrix A geht die Matrix A hervor mit [mm]A=\pmat{0 & 3 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -1} [/mm]
SR(A):= Spann ([mm] [/mm][mm]v_{1},...,v_{4} [/mm]) mit [mm]v_{1}=\pmat{3\\
0\\
0}, v_{2}=\pmat{0\\
2\\
0},v_{3}=\pmat{3\\
0\\
1},v_{4}=\pmat{0\\
0\\
-1} [/mm], aus dim SR(A) folgt, dass auch rg(A)= 4 ist . Und dim V= 4.
Aus dem Spann ([mm]v_{1},..,v_{4} [/mm]) folgt, dass dim Bild F= 3 ist.
ii.)Nach Dimensionsformel aus der VL folgt:
dim V- dim Bild F= dim Kern F
Einsetzen der in i.) ermittelten Werte:
4-3=1, der Kern F= 1.
[mm]\blacksquare
[/mm]
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> Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern F und Bild F für
> die Standartinterpretation [mm]F=F_{A} [/mm] von [mm]A=\pmat{0 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 0 & 2 & 1\\
0 & 3 & 0 & 3 & 0}\in\IR^{3x5}.[/mm]
>
> Vor.: [mm]A=\pmat{0 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 0 & 2 & 1\\
0 & 3 & 0 & 3 & 0}\in\IR^{3x5}, F=F_{A}[/mm]
>
> Beh.:i.) Dim Bild F= 3
> ii.)Dim Kern F= 1
>
> i.) Die Matrix A durch Zeilenumformungen auf
> Zeilenstufenform bringen.
> (...) Aus der Matrix A geht die Matrix A hervor mit
> [mm]A=\pmat{0 & 3 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -1}[/mm]
ok, außer dass du der neuen matrix einen anderen namen geben solltest
>
> SR(A):= Spann ([mm] [/mm][mm]v_{1},...,v_{4} [/mm]) mit [mm]v_{1}=\pmat{3\\
0\\
0}, v_{2}=\pmat{0\\
2\\
0},v_{3}=\pmat{3\\
0\\
1},v_{4}=\pmat{0\\
0\\
-1} [/mm],
> aus dim SR(A) folgt, dass auch rg(A)= 4 ist .
wie kann eine 3x5-matrix rang 4 haben? wenn die matrix in zeilenstufenform ist, heißt das noch nicht, dass die spaltenvektoren linear unabhängig sind.
> Und dim V=
> 4.
und was ist V? dim V=4 passt jedenfalls nicht
> Aus dem Spann ([mm]v_{1},..,v_{4} [/mm]) folgt, dass dim Bild F= 3
> ist.
>
> ii.)Nach Dimensionsformel aus der VL folgt:
> dim V- dim Bild F= dim Kern F
> Einsetzen der in i.) ermittelten Werte:
>
> 4-3=1, der Kern F= 1.
>
> [mm]\blacksquare
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 So 11.12.2011 | | Autor: | Zelda |
danke don q., ich melde mich gleich nochmal zurück.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 11.12.2011 | | Autor: | Zelda |
...also der ZR(A)=3, in meinem Skript steht das dim SR(A)=dim ZR(A)=rg(A), ah! Also ist der rg(A)=3.
Daraus folgt dann dim [mm]F_{A}[/mm]= 3, mit der Dimensionsformel ergibt das dann, dass dim Kern [mm]F=0[/mm] ist. Somit ist [mm]F_{A}[/mm] injektiv. ???
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> ...also der ZR(A)=3, in meinem Skript steht das dim
> SR(A)=dim ZR(A)=rg(A), ah! Also ist der rg(A)=3.
das stimmt jetzt
>
> Daraus folgt dann dim [mm]F_{A}[/mm]= 3,
ok
> mit der Dimensionsformel
> ergibt das dann, dass dim Kern [mm]F=0[/mm] ist. Somit ist [mm]F_{A}[/mm]
> injektiv. ???
>
das stimmt nicht. überleg dir nochmal, was der definitionsbereich von [mm] F_A [/mm] und dessen dimension ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 11.12.2011 | | Autor: | Zelda |
[mm]F=F_{A}, [/mm] der [mm]rg(A)=3, [/mm] [also ist (ich dreh langsam durch ;)) das Bild [mm]F_{A}=[/mm] SR(A), dieser ist =4.] dim Kern [mm]F_{A}=[/mm] n- rg(A)...
Also ist der dim Kern [mm]F_{A}=[/mm]2, somit ist dim Bild [mm]F_{A}=[/mm]1. ???
was für ein tag...
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> [mm]F=F_{A},[/mm] der [mm]rg(A)=3,[/mm] [also ist (ich dreh langsam durch ;))
> das Bild [mm]F_{A}=[/mm] SR(A), dieser ist =4.] dim Kern [mm]F_{A}=[/mm] n-
> rg(A)...
> Also ist der dim Kern [mm]F_{A}=[/mm]2, somit ist dim Bild [mm]F_{A}=[/mm]1.
> ???
>
> was für ein tag...
ich schlage vor, du legst dich schlafen, mit mathe-übungen scheint das heute abend nix mehr zu werden ...
also: A ist eine 3x5-Matrix mit Rang 3. Damit ist [mm] F_A:\IR^5\to\IR^3 [/mm] mit
dim [mm] Bild(F_A) [/mm] = dim SR(A) = rg(A) = 3 [mm] (=\dim\IR^3, [/mm] also ist [mm] F_A [/mm] surjektiv) und
dim [mm] Kern(F_A) [/mm] = [mm] \dim\IR^5 [/mm] - rg(A) = 5-3=2
eine 4 kommt hier nirgends vor (vielleicht weil sie im chinesischen kulturraum als unglückszahl betrachtet wird)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 So 11.12.2011 | | Autor: | Zelda |
gute nacht ^^ und bis bald
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