Dimension des Lösungsraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Sei A [mm] \in M_{m,n}(K) [/mm] vom Rang n und sei b [mm] \in K^{n}. [/mm] Dann hat das LGS Ax=b eine Lösung.
2. Sei A [mm] \in M_{m,n}(K) [/mm] mit m>n. Dann ist die Dimension des Lösungsraums des LGS Ax=0genau m-n. |
Hallo,
ich komme einfach mit meinen Behauptungen nicht klar... ich weiß nicht, ob die stimmen.. das ist mir völlig unklar!
Könnt ihr mir bitte helfen, und vll auch ein Stichwort zur Begründung nennen?
Ich hoffe, ihr könnt mir Licht in meine Aufgaben bringen 
VIele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Do 21.12.2006 | | Autor: | Rene |
Also die erste Aussage ist offensichtlich richtig! Denn
Wenn A eine mxn Matrix mit dem Rang n ist, dann handelt es sich hier um eine reguläre Matrix. Demzufolge existiert kein Nullraum von A (wenn m=n) und somit existiert nur eine Lösung für Ax=b, wenn b 1xn ist.
MFG
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DAnke,... jo klingt logisch, aber wie siehts mit der 2. Behauptung aus?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Do 21.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die zweite Aussage ist falsch, wenn die Dimensionen nicht trivial sind - dazu betrachte einfach mal eine Nullmatrix...
die erste Aussage ist uebrigens keinesfalls offensichtlich !
denn so, wie die Begruendung von Rene da stand waere die Aussage falsch !
denn waere A eien mxn Matrix und der Rang gleich n, dann waere b ja ein mx1 Vektor und damit die Aussage falsch, wenn man sich mal folgendes Beispiel ansieht:
[mm] $A=\pmat{2\\0}$ [/mm] und [mm] $b=\vektor{2\\1}$ [/mm] dann waere [mm] $x\in\IR$ [/mm] und es gibt fuer die zweite Komponente von b keine loesung..
ABER: b soll ja ein nx1 Vektor sein laut aufgabenstellung, deshalb muss A ja auch eine nxm Matrix sein und x ein mx1 vektor...
(also hat man MINDESTENS so viele Spalten wie Zeilen)
[das koennte Rene ja auch gemeint haben ?!?]
also ist A eine Abbildung von [mm] K^m [/mm] nach [mm] K^n [/mm] mit [mm] $m\ge [/mm] n$ und mit rang n.
wegen spaltenrang=zeilenrang ist die Abbildung also surjektiv und damit existiert eine Loesung zu jedem b !
(also die erste Aussage ist richtig, aber die begruendung war nicht ganz richtig)
viele Gruesse
DaMenge
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