Dimension eines Abbildungsraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A3.) Betrachte den [mm] $\IR$-Vektorraum $\IR^{\IR}$ [/mm] aller Abbildungen von [mm] $\IR \rightarrow \IR$. [/mm] Seien
[mm] $f_1: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \cos(x)\\
[/mm]
[mm] f_2: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \sin(x)\\
[/mm]
[mm] f_3: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto 0\\
[/mm]
[mm] f_4: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto 1\\
[/mm]
[mm] f_5: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto x\\
[/mm]
[mm] f_6: \IR \rightarrow \IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] 1+x.
Sei $V = [mm] \left$ [/mm] der von den Vektoren [mm] $f_1,\dots,f_6$ [/mm] aufgespannte Teilraum von [mm] $\IR^{\IR}$.
[/mm]
a.) Bestimmen Sie die Dimension von $V$. |
Hallo zusammen,
habe ein Problem beim Bestimmen der Dimension vom Teilraum $V$ und zwar weiß, ich, dass ich herausfinden muss welche Vektoren bzw. Abbildungen im Aufspann linear unabhängig sind, um mir so die Basis zu konstuieren, deren Kardinalität ja die Dimension des VR ist.
Also wäre der Ansatz mit $a,b,c,d,e,f [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $a\cos(x)+b\sin(x)+c\cdot 0+d\cdot [/mm] 1+ [mm] e\cdot [/mm] x + f [mm] \cdot [/mm] (1+x) = 0$.
Wie muss ich jetzt weiter verfahren?
Grüße
Joe
Hieraus folgt aus trivialen Gründen, dass $c [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig ist und, dass [mm] $d\cdot [/mm] 1+ [mm] e\cdot [/mm] x = f [mm] \cdot [/mm] (1+x)$ eine Linearkombination (wenn $d=e$) an sich ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 So 20.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> A3.) Betrachte den [mm]\IR[/mm]-Vektorraum [mm]\IR^{\IR}[/mm] aller
> Abbildungen von [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm]. Seien
> [mm]$f_1: \IR \rightarrow \IR[/mm] : x [mm]\mapsto \cos(x)\\[/mm]
> [mm]f_2: \IR \rightarrow \IR[/mm]
> : x [mm]\mapsto \sin(x)\\[/mm]
> [mm]f_3: \IR \rightarrow \IR[/mm] : x [mm]\mapsto 0\\[/mm]
>
> [mm]f_4: \IR \rightarrow \IR[/mm] : x [mm]\mapsto 1\\[/mm]
> [mm]f_5: \IR \rightarrow \IR[/mm]
> : x [mm]\mapsto x\\[/mm]
> [mm]f_6: \IR \rightarrow \IR[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm] 1+x.
>
> Sei [mm]V = \left[/mm] der von den
> Vektoren [mm]f_1,\dots,f_6[/mm] aufgespannte Teilraum von
> [mm]\IR^{\IR}[/mm].
>
> a.) Bestimmen Sie die Dimension von [mm]V[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> habe ein Problem beim Bestimmen der Dimension vom Teilraum
> [mm]V[/mm] und zwar weiß, ich, dass ich herausfinden muss welche
> Vektoren bzw. Abbildungen im Aufspann linear unabhängig
> sind, um mir so die Basis zu konstuieren, deren
> Kardinalität ja die Dimension des VR ist.
>
> Also wäre der Ansatz mit [mm]a,b,c,d,e,f \in \IR[/mm]:
>
> [mm]a\cos(x)+b\sin(x)+c\cdot 0+d\cdot 1+ e\cdot x + f \cdot (1+x) = 0[/mm].
>
> Wie muss ich jetzt weiter verfahren?
>
> Grüße
> Joe
>
> Hieraus folgt aus trivialen Gründen, dass [mm]c \in \IR[/mm]
> beliebig ist und, dass [mm]d\cdot 1+ e\cdot x = f \cdot (1+x)[/mm]
> eine Linearkombination (wenn [mm]d=e[/mm]) an sich ist.
>
Da [mm] f_3=0 [/mm] und [mm] f_6=f_4+f_5 [/mm] ist, haben wir
[mm] V=
[/mm]
Zeige nun, dass [mm] f_1,f_2,f_4,f_5 [/mm] linear unabhängig sind.
FRED
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Ich danke dir für deine Antwort Fred.
Also wäre jetzt der Ansatz:
[mm] $a\cos(x)+b\sin(x)+d\cdot [/mm] 1+ [mm] e\cdot [/mm] x = 0 $.
Im Grunde sehe ich, dass cos und sin lin. unabhängig sind, da dies bereits in einer vorherigen Übung gezeigt wurde, desweiteren muss d=0 und e=0 sein, da ansonsten 0 nicht erreicht werden kann, daher folgt, die triviale Linearkombination und so die lineare Unabhängigkeit.
Andernfalls müsste ich doch die einzelnen Nullstellen ausprobieren oder? Also z.B. für $x= 0$ ist $a+d = 0$...
Grüße
Joe
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Hallo,
> Also wäre jetzt der Ansatz:
wir machen es ganz genau, okay?
Der Ansatz wäre [mm] af_1+bf_2+df_4+ef_5=Nullfunktion.
[/mm]
Wir haben es hier mit einer Gleichheit von Funktionen zu tun,
Funktion rechts=Funktion links.
Was bedeutet das?
Dies:
für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt
[mm] (af_1+bf_2+df_4+ef_5)(x)=Nullfunktion(x)
[/mm]
<==>
[mm] af_1(x)+bf_2(x)+df_4(x)+ef_5(x)=0
[/mm]
<==>
> [mm]a\cos(x)+b\sin(x)+d\cdot 1+ e\cdot x = 0 [/mm].
Da dies für alle x gilt, gilt es für alle x-Werte, die ich mir ausdenke. Also gilt es auch für
für x=0, [mm] x=\pi/2, x=\pi [/mm] und [mm] x=-\pi/2.
[/mm]
==> ein LGS mit den Variablen a,b,d,e.
LG Angela
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Hallo angela, danke dir für deine Antwort.
>
> wir machen es ganz genau, okay?
>
Ja natürlich ist es ganz genau besser als schnell, bloß da ich gerade inmitten der Klausurvorbereitung stecke, versuche ich so wenig Aufwand wie möglich zu erzeugen :)
> Der Ansatz wäre [mm]af_1+bf_2+df_4+ef_5=Nullfunktion.[/mm]
>
> Wir haben es hier mit einer Gleichheit von Funktionen zu
> tun,
> Funktion rechts=Funktion links.
> Was bedeutet das?
>
> Dies:
> für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt
> [mm](af_1+bf_2+df_4+ef_5)(x)=Nullfunktion(x)[/mm]
> <==>
> [mm]af_1(x)+bf_2(x)+df_4(x)+ef_5(x)=0[/mm]
> <==>
> > [mm]a\cos(x)+b\sin(x)+d\cdot 1+ e\cdot x = 0 [/mm].
>
> Da dies für alle x gilt, gilt es für alle x-Werte, die
> ich mir ausdenke. Also gilt es auch für
> für x=0, [mm]x=\pi/2, x=\pi[/mm] und [mm]x=-\pi/2.[/mm]
>
> ==> ein LGS mit den Variablen a,b,d,e.
>
OK alles klar, also gilt:
Für $x = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a+d=0$
Für $x = [mm] \pi/2 \Rightarrow b+d+\frac{e\pi}{2} [/mm] = 0$
Für $x = [mm] \pi \Rightarrow -a+d+\pi [/mm] e = 0$
Für $x = [mm] -\frac{\pi}{2} \Rightarrow -b+d-\frac{e\pi}{2} [/mm] = 0$
Gleichungen seien römisch nummeriert und so gilt:
$II + IV: 2d = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] d = 0$
$I: a = 0$
$III: e = 0$
$IV: b = 0$
Also sind [mm] $f_1,f_2,f_4,f_5$ [/mm] linear unabhängig und daher ist die Dimension von V 4.
Ist diese Rechnung korrekt?
Grüße
Joe
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Hallo,
ja, richtig.
LG Angela
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