Dimension eines Unterraums? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Sa 05.02.2005 | | Autor: | kai |
Hallo,
ich habe Probleme mit der Ermittlung der Dimension eines Unterraums.
Das folgende System von Spaltenvektoren erzeugt einen Unterraum im [mm] \IR^{5} [/mm] . Man ermittle die Dimension dieses Unterraumes.
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -4 \\ 1}
[/mm]
Habe das versucht folgendermaßen anzugehen:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \\ 3 & 0 & 1 & 1}
[/mm]
Habe die 1. Zeile mit der 2. Zeile getauscht und in der 1. Spalte Nullen gebildet:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 & 4}
[/mm]
dann:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 & 4}
[/mm]
dann:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Die letzten beiden Zeilen sind null und irgendwo hab ich mir mal sagen lassen das der Unterraum mit der Dimension=2 ist.
Ist das korrekt?
Jetzt nochmal meine Prüfungsaufgabe wegen der ich u.a. durchgefallen bin:
Ermitteln Sie die Dimension des Unterraumes im [mm] \IR^{4}, [/mm] der durch folgende Vektoren erzeugt wird.
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 11 & 2}^{T};\pmat{ 11 & 4 & 56 & 5}^{T};\pmat{ 1 & 0 & 4 & -1}^{T};\pmat{ 2 & -1 & 5 & -6}^{T}
[/mm]
bin die in der Prüfung genauso wie oben angegangen:
[mm] \pmat{ 2 & 11 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & -1 \\ 11 & 56 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & -1 & -6}
[/mm]
habe wieder die 1. Zeile mit der 2. Zeile getauscht und die Nullen in Spalte 1 gebildet:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 12 & 4 & 16 \\ 0 & -3 & -1 & -4}
[/mm]
und komme am Ende auf folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
ich habe wieder einen Unterraum der Dimension=2 oder nicht?
Kann man das so lösen oder ist das totaler Unfug? Ich hoffe mir kann jemand dazu mal einen Tip geben.
Vielen Dank
Viele Grüsse Kai
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Hallo,
ich habe eine Idee zu deiner Aufgabe, da ich mich selbst gerade auf dieses Thema vorbereite:
Zuerst zu deiner Prüfungsaufgabe: Du hast hier einen Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] , das bedeutet, dass die Dimension des Unterraums zwischen 0 und 4 liegen kann. Durch Lösen deiner Matrix erhältst du 2 Nullzeilen (wobei ich jetzt einfach mal davon ausgehe, dass du die Matrizen auch in beiden Fällen richtig gelöst hast).
Aufgrund dieser 2 Nullzeilen kannst du darauf schließen, dass nur 2 der vier möglichen Vektoren in der Basis des Unterraums linear unabhängig sind. Daraus kannst du nun wirklich folgern (eigentlich eben wegen der Basis), dass der Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] nur Dimension 2 hat, d h., dass sich in der Basis auch nur 2 Vektoren befinden, die natürlich linear unabhängig sind.
Nun zu deiner aktuellen Aufgabe: Hier musst du ein bisschen aufpassen: Du hast nun die Dimension eines Unterraums des [mm] \IR^5 [/mm] zu bestimmen. D. h. deine Dimension kann zwischen 0 und 5 liegen.
Wenn du nun in der Matrix, sofern sie auch hier wieder richtig gelöst wurde, 2 Nullzeilen bekommst, du aber nur 4 und keine 5 möglichen Vektoren der Basis zum Berechnen hast, dann kannst du nicht einfach sagen, dass die Dimension 2 ist.
Du hast jetzt nur raus gefunden, dass diese 4 Vektoren linear abhängig sind, d. h. sie können keine Basis des Unterraums bilden und verringern dadurch die Anzahl der Vektoren in der Basis, die maximal 5 sein kann, weil sie ja der Dimension des Unterraums entspricht.
Du kannst aber nur ausschließen, dass die Dimension nicht 5 ist, es besteht aber immer noch die Möglichkeit, dass sie gößer als 2 und kleiner als 5 ist.
D. h., wenn du nun schließen würdest, dass die Dimension des Raumes 2 ist, dann würdest du nichts anderes tun als zu raten, aber nicht argumentieren.
Ich hoffe, dass ich dir damit schon ein bisschen weiter helfen konnte, wenn nicht, einfach Rückfragen stellen.
Liebe Grüße
Jasmin
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Hi Stefan,
ist dann die Dimension vom Unterraum dann 3?
Da ich mit Matrizen noch nicht so gut vertraut bin möchte ich dich mal fragen, was es genau bedeutet wenn Nullzeilen auftreten?
Ich hätte jetzt nämlich geschätzt, dass die Dimension dann 2 ist, da 2 Vektoren linear abhängig sind, aber das scheint nicht der Fall zu sein, oder?
Also wäre nett, wenn du oder sonst wer mir das nochmal genauer erklären könnte.
Ich dachte eine Nullzeile heißt, dass ein Vektor linear abhängig ist.
Scheint ja nicht der Fall zu sein. Also wäre echt nett, wenn mir das mal wieder jemand genauer erklären könnte.
MfG Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Dimension eines Unterraums ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Unterraum. Da die Nullvektoren offenbar die Dimension nicht vergrößern (eine Menge, die einen Nullvektor enthält, ist immer linear abhängig) und die anderen drei Zeilenvektoren linear unabhängig sind in diesem Beispiel, ist hier die Dimension des Unterraums $3$, ja, das ist richtig.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo nochmal, 
d.h. jetzt aber doch, dass ich genau dann, wenn ich die Anzahl der Vektoren, die einen Unterraum aufspannen sollen, kenne, die Nullzeilen einer Matrix zur Hilfe nehmen kann.
Also, wenn ich einen Unterraum des [mm] \IR^5 [/mm] habe, der von 4 Vektoren ausgespannt wird und 2 davon sind linear abhängig, (also eine Nullzeile), dann kann ich einen davon weg streichen und erhalte noch 3 linear abhängige Vektoren und somit Dimension 3.
Ich will nur sicher gehen, dass ich jetzt auch alles einigermaßen verstanden habe.
Lieber Gruß
Jasmin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jasmin!
Ich wiederhole es noch einmal in eigenen Worten, du meinst aber das Richtige:
Wenn du einen Unterraum hast, der von vier Vektoren aufgespannt wird und deren Dimension du herausfinden willst, dann schreibst du diese Vektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix. Dann führst du elementare Zeilenumformungen durch, bis du eine Matrix in Zeilenstufenform bekommst. Die Dimension des Unterraums ist dann die Zahl aller Zeilen abzüglich der Nullzeilen. Die (in dem von dir genannten Fall) drei Nicht-Nullzeilen bilden dann eine Basis des dreidimensionalen Unterraumes, ja. Die Dimension ist also gleich $3$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo Stefan,
danke für deine Verbesserung. Es war schon etwas spät gestern Abend und ich bin irgendwann gegen Ende meiner Antwort selbst ein bisschen ins Zweifeln geraten. Deshalb danke für deine Hilfe.
Allerdings ist mir schon klar, dass es prinzipiell möglich ist, die Dimension anhand der Nullzeilen zu bestimmen, denn wenn ich 4 Vektoren habe, die einen Unterraum aufspannen, dann kann ich durch Nullzeilen natürlich Aufschluss über die linear unabhängigen und abhängigen Vektoren in der Basis erhalten und damit dann auch Auskunft über die Dimension.
Was ich allerdings damit sagen wollte, war, dass die Dimension eines URs von [mm] \IR^5 [/mm] ja kleiner oder gleich 5 sein kann. Wenn ich dann aber nur 4 Vektoren teste, dann lasse ich doch einen 5ten, um den ich die Basis erweitern könnte (wenn die anderen 4 linear unabhängig wären und damit die Dimension schon mal sicher 4 wäre), immer außen vor. D. h. doch, dass ich über ihn keinerlei Aussagen machen könnte und die Möglichkeit, dass die Dimension immer noch 5 ist, immer noch besteht. Oder täusche ich mich da???
Liebe Grüße
Jasmin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hi nochmal,
dann bin ich ja jetzt beruhigt, also habe ich das doch richtig verstanden. Ich habe jetzt schon angefangen zu zweifeln.....
Danke!
Liebe Grüße
Jasmin
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Hallo alle miteinander,
> Hallo,
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> ich habe Probleme mit der Ermittlung der Dimension eines
> Unterraums.
>
> Das folgende System von Spaltenvektoren erzeugt einen
> Unterraum im [mm]\IR^{5}[/mm] . Man ermittle die Dimension dieses
> Unterraumes.
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -4 \\ 1}
[/mm]
Endmatrix (in Zeilenstufenform)
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
also die berechnete Matrix stimmt. Bei mir tauchen auch zwei Nullzeilen auf. Also ich spreche von der NICHT-Prüfungsaufgabe.
Wollte das nur zur Sicherheit mitteilen.
MfG Andi
PS: Bei mir kommt folgende Matrix zum Vorschein:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0&0&0&0\\}
[/mm]
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Also ich habe einen Vektorraum mit der Dimension n und habe weniger als n Vektoren, die einen Unterraum aufspannen sollen.
So ich erkenne durch Matrixschreibweise und Umformung in Zeilenstufenform, dass es zwei nullzeilen gibt.
Nach Stefan ist die Dimension also die Zeilen die ungleich null sind also dim(unterraum)=3
Gibt es sonst eine mögliche Dimension für den Unterraum? Wenn ja warum.
Zudem sagt Haeslein, dass man das mit dem 5. Vektor nicht berücksichtigt...kann mir das jemand nochmal kurz erläutern warum dieser 5. Vektor bei der Bestimmung der Dimension des Unterraums eine wichtige Rolle spielt? Also mir ist schon klar, dass es zu den gefundenen linear unabhängigen Vektoren noch dazu linear unabhängige vektoren gibt, aber na ja...es ist doch die Rede von dem Unterraum, der durch diese bestimmten Vektoren gebildet wird und da interessieren mich doch die möglichen anderen Vektoren, die noch linear unabhängig dazu sein könnten, doch gar nit, oder? Wenn doch, dann würde ich gerne wissen warum.
Also wäre cool, wenn mir jetzt jemand sagen könnte, ob die dimension 3 ist und wenn nein warum nicht und wie das mit diesem 5. vektor usw. ist. Stehe im Moment halt bissel aufm Schlauch.
MfG
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir müssen uns jetzt mal auf eine gemeinsame Grundlage einigen.
Also, ich gehe jetzt mal von folgender Situation aus:
Wir sind im [mm] $\IR^5$ [/mm] und haben einen Unterraum, der von vier Vektoren aufgespannt wird und wollen dessen Dimension herausfinden. Dann schreiben wir diese vier Zeilen in eine Matrix, bringen diese auf Zeilenstufenform und berechnen die Dimension anschließend durch [mm] $4-\mbox{Anzahl der Nullzeilen}$. [/mm] In diesem Fall, ds hast du Recht, spielt der fünfte Vektor keine Rolle, da wir ja nur den Unterraum untersuchen, der von den vier Vektoren aufgespannt wird.
Ich hatte Jasmins Kommentar so verstanden, dass es dort nicht um die Dimension des Unterraumes ging, sondern dies eine allgemeine Anmerkung war.
Ist es jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan, danke nochmal für deine Antwort. Aber so ist es mir vollkommen klar...habe diese neue erkenntnis auch schon bei einer neuen Aufgabe eingesetzt und es funktioniert.
Danke schön.
Bis dann,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 So 06.02.2005 | | Autor: | kai |
Hi all,
durch eure Diskussion ist mir jetzt halbswegs klar geworden wie man so einen Unterraum ermittelt. Hatte schon aufgegeben das jemals zu verstehen.
Vielen Dank an Alle
Viele Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 14.07.2005 | | Autor: | Flora015 |
Hallo zusammen,
ich weiß diese Diskussion ist schon einige Zeit beendet, aber ich hoffe dass mir trotzdem noch jmd. antworten wird. Ich habe nämlich leider genau dieselbe Aufgabe von meinem Prof bekommen und bei ihm ist die Lösung Dimension = 2.
Da habe ich mich natürlich gefragt wie das sein kann und bin durch die ganzen Fragen und Antworten geswitcht. Und dabei ist mir aufgefallen, dass Stefan in seiner Antwort vom 6.2.05 sagte, dass man die Spaltenvektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix übernehmen soll. Und das hat mein Vorgänger ja eigentlich nicht gemacht, er hat die Vektoren einfach als Matrix geschrieben.
Wenn ich von diesem Ansatz ausgehe wäre meine Lösung für die Aufgabe:
[mm] \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 } \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 } \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -4 \\ 1 }
[/mm]
Dann schreibe ich die Spaltenvektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 1 & -4 & 4 }
[/mm]
dann vertausche ich die 1. und 2. Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 1 & -4 & 4 }
[/mm]
dann nehme ich Zeile (Z)2 - 2x Z1; Z3 - Z1; Z4 - 3xZ1:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 8 & -3 \\ 0 & 3 & -2 & 8 & 1 }
[/mm]
Da kann ich ja eigentlich schon sehen dass Z2 und Z4 linear abhängig sind. Und somit wäre doch die Dimension tatsächlich gleich 2, oder mache ich da jetzt gerade einen riesengroßen Denkfehler ???
Ich bin für jede Hilfe aus diesem Dilemma dankbar! :o)
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Hallo Flora015,
es spielt keine Rolle, ob du die gegebenen Vektoren als Zeilen oder als Spalten in die Matrix einträgst. Beide Vorgehensweisen liefern das gleiche Ergebnis in Bezug auf die Dimension des Systems, da Zeilenrang und Spaltenrang einer Matrix gleich sind. Du musst dich nur am Anfang für eine Methode entscheiden. Dein Vorgänger hat sie als Spalten übernomme - du als Zeilen - beides möglich. Könnte es sein, dass dir dabei ein Fehler unterlaufen ist? Ich weiss jedenfalls nicht, woher du die 3. und 4. Zeile in deiner Matrix genommen hast. Naja, wenn du sie einmal richtig eingetragen hast, dann führst du die Umformungen durch, um die obere Dreiecksgestalt (Zeilenstufenform) zu erlangen, machst also Gauss-Elimination, bis unterhalb der Diagonalen wirklich nur noch Nullen stehen. Das haben ja bereits die anderen schon so ausführlich erklärt. Dann die Nicht-Nullzeilen abzählen und du hast deine Dimension. Das Ergebnis hat der Kai ja bereits geliefert - bei dir sollte dann das gleiche rauskommen, wie gesagt - auch wenn du am Anfang Zeilen statt Spalten einträgst... Viel Erfolg!
Gruss, Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 14.07.2005 | | Autor: | Flora015 |
Hallo nochmal,
vielen vielen Dank für die Antwort, dass hilft mir schon super weiter. Du hattest natürlich recht, war eine andere Aufgabe dazwischen gerutscht. Aber eine Sache verwirrt mich noch. Wenn ich nach einigen Umformungen eine Matrix erhalte die so aussieht:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -4 & 4 }
[/mm]
Dann würde ich nach meinem miesen Wissensstand davon ausgehen dass die beiden unteren Zeilen linear abhängig sind. Wenn ich jetzt Z3 - 0,5x Z4 und Z4 - 2x Z3 nehmen würde, würde das gehen? Oder wäre das doppelt gemoppelt? Weil dann hätte ich ja diese Diagonale und 2 Nullzeilen, somit wäre meine Dimension dann gleich 2.
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Hallo Flora01,
> die so aussieht:
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> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -4 & 4 }[/mm]
In dieser Situation hast du noch keine Zeilenstufenform, denn in der letzten Zeile steht an der 3. Stelle ja noch die [mm]-2[/mm]
anstatt einer [mm]0[/mm]. Man muss jetzt also da eine [mm]0[/mm] hinbekommen, indem man das 2-Fache der 3.Zeile von der 4.Zeile abzieht. Dann wird sogar die komplette letzt Zeile Null, denn die 3. und 4. sind linear abhängig, wie du schon richtig gesehen hast:
> Dann würde ich nach meinem miesen Wissensstand davon
> ausgehen dass die beiden unteren Zeilen linear abhängig
> sind.
Was übrig bleibt sind also die 3 ersten Zeilen (welche auf jeden Fall linear unabhängig voneinander sind, wegen der Zeilenstufenform) und zusätzlich die Nullzeile. Also hat die Matrix den Rang 3, d.h. deine Dimension ist 3.
> Wenn ich jetzt Z3 - 0,5x Z4 und Z4 - 2x Z3 nehmen
> würde, würde das gehen? Oder wäre das doppelt gemoppelt?
Das wäre doppelt gemoppelt und führt zu einem falschen Ergebnis. Du würdest ja dann eine Zeile zur Nullzeile machen, dann so tun, als wär sie doch keine Nullzeile und sie dann nochmal verwenden um eine andere Zeile zur Nullzeile zu machen. Das wäre dann auch nicht mehr das Gauss'sche Eliminationsverfahren. An dieses muss man sich aber halten, um ein zuverlässiges Ergebnis zu erzielen, sonst kommt man mit den Zeilen durcheinander. Am besten nochmal im Buch oder Skript den Ablauf des Verfahrens anschauen...
Gruss, Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Do 14.07.2005 | | Autor: | Flora015 |
Hallo Lars,
vielen Dank für deine Hilfe! Jetzt hab ich endlich das Gefühl dass ich den Kram ansatzweise geblickt habe. Und ist ja mal wieder typisch dass die Lösung vom Prof falsch war (macht er gerne mal).
Also dann schönen Abend noch
LG Katja
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