Dimension eines Vektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:59 Mi 26.09.2007 | | Autor: | csxx |
| Aufgabe | | Welche Dimension hat der Q-Vektorraum aller jener rationalen Matrizen mit 3 Zeilen und 5 Spalten, deren zweite Zeile nur Nullen enthält. |
Hi, noch eine kurze Frage:
Ich komme mit der Definition der Dimension nicht ganz klar.
1) Einmal heisst es die Dimension wäre die Anzahl der Elemente einer Basis von V (Vektorraum), und das ist zB bei K ^ m x n = n*m also waere das 3*5=15.
2) lese ich dim = Anzahl Spalten - Anzahl Pivots, was wohl in diesem Bsp 3 wäre wenn in der 0 Zeile kein Pivot ist.
Andererseits ist da wieder die Anzahl der Basisvektoren wie mans in der Schule gelernt hat.. ziemlich verwirrend :(
Kann mich wer aufklären? Wann gilt 1) und wann 2) ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Mi 26.09.2007 | | Autor: | pleaselook |
Ich glaub ich vertue mich da grad. Ich schreib lieber nichts. Aber ich denke die Dimension ist 2.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mi 26.09.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Anette!
> Welche Dimension hat der Q-Vektorraum aller jener
> rationalen Matrizen mit 3 Zeilen und 5 Spalten, deren
> zweite Zeile nur Nullen enthält.
> Hi, noch eine kurze Frage:
>
> Ich komme mit der Definition der Dimension nicht ganz
> klar.
>
> 1) Einmal heisst es die Dimension wäre die Anzahl der
> Elemente einer Basis von V (Vektorraum), und das ist zB bei
> K ^ m x n = n*m also waere das 3*5=15.
Die Schlußbemerkung wäre richtig, wenn V der Raum aller 3x5-Matrizen wäre. Aber du sollst hier einen Unterraum untersuchen! Der hat eine deutlich kürzere Basis.
> 2) lese ich dim = Anzahl Spalten - Anzahl Pivots, was wohl
> in diesem Bsp 3 wäre wenn in der 0 Zeile kein Pivot ist.
Huch, was ist denn ein Pivot? Das lernt man wahrscheinlich nur in der Numerischen Mathematik ...
> Andererseits ist da wieder die Anzahl der Basisvektoren wie
> mans in der Schule gelernt hat.. ziemlich verwirrend :(
>
> Kann mich wer aufklären? Wann gilt 1) und wann 2) ?
1) gilt immer, unter allen Umständen und weltweit. 2) ist dann wohl ein Satz, der aus 1) folgt, aber wg. meiner o. a. Unwissenheit kann ich das nicht bewerten. Ich hoffe, du bist jetzt teil-aufgeklärt 
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Mi 26.09.2007 | | Autor: | csxx |
| Aufgabe | Eine Matrix hat Stufenform wenn:
- Wenn Zeile Ai_ = 0 dann sind auch A(i+1)_ = ... Am_ = 0
- Der von links gelesen erste Koeffizient ungleich 0 in jeder Zeile heisst Pivot und ist 1
- Der Pivot von zeile i+1 steht rechts vom Pivot von Zeile i.
- Der Pivot jeder Zeile ist der einzige Koeffizient != 0 in seiner Spalte. |
Hi, und Guten Morgen!
Also soviel zum Pivot (durch den Gauss Algorithmus).
Brauche ich dann den hier garnicht? Vielleicht ist das nur ein Sonderfall.
Aber wie komme ich dann auf die wirkliche Dimension des gesuchten Unterraumes?
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> Pivot
Hallo,
Deine Pivots können wir hier aus dem Stand nicht gebrauchen.
Die könntest Du verwenden, wenn Du z.B. untersuchen wolltest, welche Dimension der von [mm] \vektor{1 \\ 2\\3}, \vektor{1 \\ 2\\2}, \vektor{2 \\ 4\\5}, \vektor{3 \\ 6\\8} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0\\1} [/mm] aufgespannte Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] hat. Du würdest die Vektoren in eine Matrix stecken, auf Zeilenstufenform bringen und dann den Rang ablesen.
> Aber wie komme ich dann auf die wirkliche Dimension des
> gesuchten Unterraumes?
Generell ist die Dimension die Anzahl der Elemente in einer Basis.
Und damit Du diese zählen kannst, brauchst Du erstmal eine Basis Deines Vektorraumes. Der Vektorraum, den Du vorliegen hast, besteht aus Matrizen einer ganz bestimmten Gestalt.
Sie sehen so aus: [mm] \pmat{ * & *&*&*&*\\ 0 & 0&0&0&0\\ * & *&*&*&*}, [/mm] bei den Sternchen hast Du irgendwelche Einträge aus [mm] \IQ.
[/mm]
Du mußt nun ein Sortiment von Matrizen finden (denn Deine Vektoren - Elemente des Vektorraumes - sind Matrizen), welche eine Basis des betrachteten Vektorraumes bilden, mit welchen Du also per Linearkombination jede Matrix aus Deinem Vektorraum darstellen kannst, und welche noch dazu linear unabhängig sind.
Wenn Du das hast, brauchst Du nur noch zu zählen, wie viele es sind, und damit kennst Du die Dimension des Vektorraumes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 26.09.2007 | | Autor: | csxx |
Also wenn ich das richtig verstanden habe brauche ich dann fuer die 0-Zeile keine Vektoren oder?
Könntest du mir das bitte an diesem Beispiel vorzeigen, bin ein wenig unsicher damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mi 26.09.2007 | | Autor: | statler |
> Also wenn ich das richtig verstanden habe brauche ich dann
> fuer die 0-Zeile keine Vektoren oder?
>
> Könntest du mir das bitte an diesem Beispiel vorzeigen, bin
> ein wenig unsicher damit?
Fang doch mal mit den 3x1-Matrizen an, die in der 2. Zeile eine 0 haben ...
Und dann machst du den schwierigen Schritt zu den 3x2-Matrizen!
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mi 26.09.2007 | | Autor: | csxx |
Ist es richtig das die Basis dann fuer 3x1 2 Elemente hat?
Und fuer 3x2 wärens dann 4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mi 26.09.2007 | | Autor: | statler |
> Ist es richtig das die Basis dann fuer 3x1 2 Elemente hat?
> Und fuer 3x2 wärens dann 4?
Super, Anette, allererste Sahne! Und eigentlich doch ganz einfach. Und uneigentlich auch.
Im Ernst: Kein Hexenwerk, oder?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mi 26.09.2007 | | Autor: | csxx |
Moment noch, nichz zu früh freuen, wer weiss was noch kommt :D
Ist dann die richtige Antwort Dimension 10 fuer 3x5, weil 3x5 = 15 und eine Zeile fällt weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 26.09.2007 | | Autor: | statler |
> Moment noch, nichz zu früh freuen, wer weiss was noch kommt
> :D
>
> Ist dann die richtige Antwort Dimension 10 fuer 3x5, weil
> 3x5 = 15 und eine Zeile fällt weg?
Das ist richtig *freumichdoch*, aber die Begründung ist ein bißchen lax; besser wäre es, eine Basis hinzuschreiben. Aber das ist jetzt Routine ...
Liebe Grüße
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mi 26.09.2007 | | Autor: | csxx |
Das war natürlich keine offizielle Begründung, aber gefragt wäre nur die Dimension alleine.
Basis ist jetzt aber natürlich auch kein Problem mehr
Wenn man das Grundlegende mal verstanden hat ists wirklich erstaunend einfach.
Nur dauert das wenn man nur ein Skriptum ohne Vorlesung hat :/
Auf jeden Fall bedanke ich mich herzlich bei euch, hat mir ungemein weitergeholfen!
Lieben Gruss
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