Dimension im Zp, p Primzahl < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Sa 24.11.2007 | | Autor: | quest |
| Aufgabe | Sei K = [mm] \IZ_p [/mm] für eine Primzahl p. Betrachten Sie die folgenden Vektoren im [mm] K^5:
[/mm]
[mm] v_1 [/mm] = (0,0,2,−3,0), [mm] v_2 [/mm] = (0,0,0,1,−2), [mm] v_3 [/mm] = (0,3,−4,0,0), [mm] v_4 [/mm] = (4,−5,0,0,0).
Weiterhin sei V := [mm] [/mm] und U := [mm] \{(a_1,...,a_5) | \summe_{i=1}^{5}{(6-i)a_i} = 0 \}, [/mm] U Teilmenge [mm] K^5.
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) Für p [mm] \not \in [/mm] {2, 3} ist dim V = 4. Wie groß ist dim V für p = 2 bzw. p = 3?
(b) Für alle Primzahlen p ist U ein Vektorraum.
(c) V [mm] \leq [/mm] U [mm] \forall [/mm] p Primzahl.
(d) Für p = 2 gilt V < U. |
Hallo liebe Vorhelfer,
ich steh hier gerade total auf dem Schlauch. Ich habe schon ein wenig herumprobiert und herumgemacht, brauche aber dringend Hilfe :-/
Zunächst grundlegende Verständnisfrage: ich betrachte K = [mm] \IZ_p [/mm] , wobei p Primzahl ist. D.h. das sind quasi die Zahlen K = [mm] \IZ_p [/mm] = [mm] \{ 0,1,2,...,p-1 \}. [/mm] Dieser Körper hat Charakteristik p...ich hoffe, das hab ich so richtig interpretiert.
Jetzt erstmal zu a). Sei p [mm] \not \in \{2,3\}.
[/mm]
V := [mm] , [/mm] z.z. dim V = 4. Dazu muss ich zeigen, dass diese vier Vektoren ein Erzeugendensystem sind und das die Vektoren linear Unabhängig sind.
Zum ersteren, also das diese Vektoren ein Erzeugendensystem sind, weiß ich nicht direkt was ich schreiben soll. Die lineare Unabhängigkeit der Vektoren hab ich per Hand geprüft und stelle fest, das die Vektoren linear unabhängig sind.
Aber jetzt komm ich nicht weiter, dim V für p = 2, oder p = 3? Die Vektoren sind doch aus [mm] K^5, [/mm] das heißt also ich habe quasi [mm] \IZ_p [/mm] x ... x [mm] \IZ_p [/mm] also fünf mal. Was bedeutet das nun für die Rechnung wenn p = 2, oder p = 3 ist???
Zu b) Für alle Primzahlen p ist U ein Vektorraum. Muss ich hier die Vektorraumgesetze bestätigen? Oder, da die Elemente aus [mm] K^5 [/mm] sein sollen, muss ich "nur" das Unterraumkriterium prüfen?
Aber das ist doch eigentlich erst Aufabe in c) oder?
Kann mir jemand bildlich oder kurz erklären, was ich zu tun habe? Ich glaube technisch ist das nicht so einfach, ich bin nur verwirrt von der Aufgabenstellung :-(
Vielen Dank für die Hilfe,
grüße
Quest
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> Sei K = [mm]\IZ_p[/mm] für eine Primzahl p. Betrachten Sie die
> folgenden Vektoren im [mm]K^5:[/mm]
> [mm]v_1[/mm] = (0,0,2,−3,0), [mm]v_2[/mm] = (0,0,0,1,−2), [mm]v_3[/mm] =
> (0,3,−4,0,0), [mm]v_4[/mm] = (4,−5,0,0,0).
> Weiterhin sei V := [mm][/mm] und U :=
> [mm]\{(a_1,...,a_5) | \summe_{i=1}^{5}{(6-i)a_i} = 0 \},[/mm] U
> Teilmenge [mm]K^5.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> (a) Für p [mm]\not \in[/mm] {2, 3} ist dim V = 4. Wie groß ist dim
> V für p = 2 bzw. p = 3?
> (b) Für alle Primzahlen p ist U ein Vektorraum.
> (c) V [mm]\leq[/mm] U [mm]\forall[/mm] p Primzahl.
> (d) Für p = 2 gilt V < U.
> Zunächst grundlegende Verständnisfrage: ich betrachte K =
> [mm]\IZ_p[/mm] , wobei p Primzahl ist. D.h. das sind quasi die
> Zahlen K = [mm]\IZ_p[/mm] = [mm]\{ 0,1,2,...,p-1 \}.[/mm] Dieser Körper hat
> Charakteristik p...ich hoffe, das hab ich so richtig
> interpretiert.
Hallo,
ja, hinter [mm] \IZ_p [/mm] verbirgt sich [mm] (\IZ [/mm] / [mm] p\IZ [/mm] , +,* ) mit p Primzahl.
Dies ist ein Körper mit p Elementen, wie sicher in der Vorlesung gezeigt wurde.
Die Elemente gibst Du ja an:
> K= [mm] \IZ_p [/mm] = [mm] \{ 0,1,2,...,p-1 \}
[/mm]
Der Deiner Aufgabe zugrundeliegende Vektorraum ist der Raum [mm] K^5 [/mm] über K.
Was bedeutet das?
Wir betrachten Spaltenvektoren mit 5 Komponenten, deren Komponenten jeweils dem Körper [mm] K=\IZ_p [/mm] entstammen.
>
> Jetzt erstmal zu a). Sei p [mm]\not \in \{2,3\}.[/mm]
> V :=
> [mm],[/mm] z.z. dim V = 4. Dazu muss ich zeigen,
> dass diese vier Vektoren ein Erzeugendensystem sind und das
> die Vektoren linear Unabhängig sind.
>
> Zum ersteren, also das diese Vektoren ein Erzeugendensystem
> sind, weiß ich nicht direkt was ich schreiben soll.
Da brauchst Du garnichts zu zu schreiben. Erzeugen tun sie nach Definition: V ist doch gerade der von diesen Vektoren erzeugte Raum, die lineare Hülle v. [mm] v_1,v_2,v_3,v_4, [/mm] die Menge aller Linearkombinationen v. [mm] v_1,v_2,v_3,v_4.
[/mm]
> Die
> lineare Unabhängigkeit der Vektoren hab ich per Hand
> geprüft und stelle fest, das die Vektoren linear unabhängig
> sind.
Wenn das so ist - was ich nicht nachgeprüft habe -, sind sie eine Basis des V, also hat der Unterraum V die Dimension 4.
>
> Aber jetzt komm ich nicht weiter, dim V für p = 2, oder p =
> 3? Die Vektoren sind doch aus [mm]K^5,[/mm] das heißt also ich habe
> quasi [mm]\IZ_p[/mm] x ... x [mm]\IZ_p[/mm] also fünf mal. Was bedeutet das
> nun für die Rechnung wenn p = 2, oder p = 3 ist???
Ich habe oben schon den [mm] K^5 [/mm] erklärt.
Für die rechnung bedeutet das, daß die Zahlen in den Spalten dem [mm] \IZ_2 [/mm] bzw. [mm] \IZ_3 [/mm] entstammen, Du also in diesem Körper rechnen mußt.
In [mm] \IZ_2 [/mm] ist ja z.B. [mm] v_1= [/mm] (0,0,2,−3,0)=(0,0,0,1,0), und, was möglicherweise beim rechnen von Belang ist, 1+1=0.
> Zu b) Für alle Primzahlen p ist U ein Vektorraum. Muss ich
> hier die Vektorraumgesetze bestätigen? Oder, da die
> Elemente aus [mm]K^5[/mm] sein sollen, muss ich "nur" das
> Unterraumkriterium prüfen?
Genau. Das [mm] K^5 [/mm] ein Vektorraum über K ist, ist bekannt, und Du mußt nun prüfen, ob U ein Unterraum davon ist mithilfe der Unterraumkriterien.
> Aber das ist doch eigentlich erst Aufabe in c) oder?
Nein, in Aufgabe c) sollst Du zeigen, daß V für sämtliche Primzahlen p ein Unterraum v. U ist.
Da an der Vektorraumeigenschaft v. V keine Zweifel bestehen - das ist nach Def. ein Vektorraum - läuft die frage darauf hinaus, ob V eine Teilmenge v. U ist. Auf den ersten Blick sieht man das ja nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Sa 24.11.2007 | | Autor: | quest |
Hallo Angela.
Wow...das war ja echt eine schnelle Rückmeldung. Jetzt fällt mir gerade auf, dass ich bei meiner Argumentation für a) nun gar nicht mehr so sicher bin :-/
(a) Für p [mm]\not \in[/mm] {2, 3} ist dim V = 4. Wie groß ist dim V für p = 2 bzw. p = 3?
Da p [mm] \not \in [/mm] {2,3} ist p also p >= 5 und Primzahl.
Betrachte nun, ob Vektoren linear unabhängig sind, seien dazu [mm] k_1,...,k_4 \in \IZ_p.
[/mm]
Es ist: $ [mm] k_1 v_1 [/mm] + [mm] k_2 v_2 [/mm] + [mm] k_3 v_3 [/mm] + [mm] k_4 v_4 [/mm] = [mm] k_1 [/mm] (0,0,2,-3,0) + [mm] k_2 [/mm] (0,0,0,1,-2) + [mm] k_3 [/mm] (0,3,-4,0,0) + [mm] k_4 [/mm] (4,-5,0,0,0) = (0,0,0,0,0)$
[mm] \gdw
[/mm]
$(1) [mm] k_1 [/mm] 0 + [mm] k_2 [/mm] 0 + [mm] k_3 [/mm] 0 + [mm] k_4 [/mm] 4 = 0 [mm] \Rightarrow k_4 [/mm] = p [mm] \vee k_4 [/mm] = 0 $
$(2) [mm] k_1 [/mm] 0 + [mm] k_2 [/mm] 0 + [mm] k_3 [/mm] 3 + [mm] k_4 [/mm] (-5) = 0 [mm] \Rightarrow k_3 [/mm] = 0 [mm] \vee k_3 [/mm] = p$, da ich ja schon weiß, wie [mm] k_4 [/mm] aussehen sollte.
$(3) [mm] k_1 [/mm] 2 + [mm] k_2 [/mm] 0 + [mm] k_3 [/mm] (-4) + [mm] k_4 [/mm] 0 = 0 [mm] \Rightarrow k_1 [/mm] = p [mm] \vee k_1 [/mm] = 0$
$(4) [mm] k_1 [/mm] (-3) + [mm] k_2 [/mm] 1 + [mm] k_3 [/mm] 0 + [mm] k_4 [/mm] 0 = 0 [mm] \Rightarrow k_2 [/mm] = p [mm] \vee k_2 [/mm] = 0$
Im Endeffekt verwende ich immer das Wissen, von den vorherigen Ergebnissen. Die Vektoren sind linear unabhängig, da die k's entweder gleich 0 sind oder gleich p sind, was dazu führt, dass der Vektor multipliziert mit dem p auch Null wird.
Also ist dim V = 4.
Im Fall p = 2 sind die Vektoren:
[mm] v_1 [/mm] = (0,0,0,1,0)
[mm] v_2 [/mm] = (0,0,0,1,0)
[mm] v_3 [/mm] = (0,1,0,0,0)
[mm] v_4 [/mm] = (0,1,0,0,0)
nicht linear unabhägig,es gibt nur zwei linear unabhängige Vektoren: dim V = 2.
Im Fall p=3 sind die Vektoren:
[mm] v_1 [/mm] = (0,0,2,0,0)
[mm] v_2 [/mm] = (0,0,0,1,-2)
[mm] v_3 [/mm] = (0,0,1,0,0)
[mm] v_4 [/mm] = (1,2,0,0,0)
Hier gibt es drei linear unabhängige Vektoren [mm] v_1 [/mm] = 2 [mm] v_3, [/mm] also dim V = 3.
Was meinst du dazu?
(b) Für alle Primzahlen p ist U ein Vektorraum.
U := [mm]\{(a_1,...,a_5) | \summe_{i=1}^{5}{(6-i)a_i} = 0 \},[/mm] U Teilmenge [mm]K^5.[/mm]
Sei dazu x = [mm] (x_1,...,x_5), [/mm] y = [mm] (y_1,...,y_5) \in [/mm] U. Und t,s [mm] \in [/mm] K = [mm] \IZ_p.
[/mm]
Betrachte:
z = x + y = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] y_1,...,x_5 [/mm] + [mm] y_5) \in [/mm] U. Zunächst sind die [mm] z_i \in \IZ_p, [/mm] da [mm] \IZ_p [/mm] ein kommutativer Ring ist (steht so im Skript, ich hab das Gefühl das muss man hier verwenden).
Für x + y = [mm] \summe_{i=1}^{5}{(6-i)(x_i+y_i)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{5}{(6-i)x_i+ (6-i) y_i)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{5}{(6-i)x_i} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{5}{(6-i)y_i} [/mm] = 0.
Hier bin ich mir nicht sicher :-/ Ich weiß nicht, ob ich so einfach diese Summe auseinderziehen darf. Kannst du mir da ein wenig helfen?
Ich denke mir muss erstmal das klar werden, bevor ich mich überhaupt an die anderen Sachen herantrauen kann :-/
Vielen dank für deine Geduld!
Quest
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> (a) Für p [mm]\not \in[/mm] {2, 3} ist dim V = 4. Wie groß ist dim V
> für p = 2 bzw. p = 3?
>
> Da p [mm]\not \in[/mm] {2,3} ist p also p >= 5 und Primzahl.
> Betrachte nun, ob Vektoren linear unabhängig sind, seien
> dazu [mm]k_1,...,k_4 \in \IZ_p.[/mm]
>
> Es ist sei:
> [mm]k_1 v_1 + k_2 v_2 + k_3 v_3 + k_4 v_4 = k_1 (0,0,2,-3,0) + k_2 (0,0,0,1,-2) + k_3 (0,3,-4,0,0) + k_4 (4,-5,0,0,0) = (0,0,0,0,0)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
Hallo,
vom Prinzip her ist das richtig, wenn ich auch die 5. Gleichung vermisse...
Ich werde das jetzt nciht alles nachvollziehen, aber ein Hinweis ist wichtig
> [mm](1) k_1 0 + k_2 0 + k_3 0 + k_4 4 = 0
> \Rightarrow k_4 = p \vee k_4 = 0[/mm]
Diese Folgerung stimmt, wobei ich das [mm] k_4 [/mm] =p weglassen und nur [mm] k_4=0 [/mm] schreiben würde, denn p kommt in Deinem Körper gar nicht vor!
Du mußt diese Folgerung jedoch mit einem Satz aus der Vorlesung oder sonstwas begründen.
>
> [mm](2) k_1 0 + k_2 0 + k_3 3 + k_4 (-5) = 0 \Rightarrow k_3 = 0 \vee k_3 = p[/mm],
> da ich ja schon weiß, wie [mm]k_4[/mm] aussehen sollte.
> [mm](3) k_1 2 + k_2 0 + k_3 (-4) + k_4 0 = 0 \Rightarrow k_1 = p \vee k_1 = 0[/mm]
>
> [mm](4) k_1 (-3) + k_2 1 + k_3 0 + k_4 0 = 0 \Rightarrow k_2 = p \vee k_2 = 0[/mm]
>
> Im Endeffekt verwende ich immer das Wissen, von den
> vorherigen Ergebnissen.
So macht man das, wenn man lineare GS löst.
> Die Vektoren sind linear
> unabhängig, da die k's entweder gleich 0 sind oder gleich p
s.o.
> Also ist dim V = 4.
>
> Im Fall p = 2 sind die Vektoren:
> [mm]v_1[/mm] = (0,0,0,1,0)
> [mm]v_2[/mm] = (0,0,0,1,0)
> [mm]v_3[/mm] = (0,1,0,0,0)
> [mm]v_4[/mm] = (0,1,0,0,0)
> nicht linear unabhägig,es gibt nur zwei linear unabhängige
> Vektoren: dim V = 2.
>
> Im Fall p=3 sind die Vektoren:
> [mm]v_1[/mm] = (0,0,2,0,0)
> [mm]v_2[/mm] = (0,0,0,1,-2)
> [mm]v_3[/mm] = (0,0,1,0,0)
> [mm]v_4[/mm] = (1,2,0,0,0)
> Hier gibt es drei linear unabhängige Vektoren [mm]v_1[/mm] = 2 [mm]v_3,[/mm]
> also dim V = 3.
>
> Was meinst du dazu?
Vielleicht ist es sicherer, für die Übung noch die passende Matrix in Zeilenstufenform mitzuliefern, an welcher man den Rang ablesen kann, aber ansonsten ist es schon in Ordnung so.
>
> (b) Für alle Primzahlen p ist U ein Vektorraum.
> U := [mm]\{(a_1,...,a_5) | \summe_{i=1}^{5}{(6-i)a_i} = 0 \},[/mm] U
> Teilmenge [mm]K^5.[/mm]
>
> Sei dazu x = [mm](x_1,...,x_5),[/mm] y = [mm](y_1,...,y_5) \in[/mm] U. Und
> t,s [mm]\in[/mm] K = [mm]\IZ_p.[/mm]
Jetzt würde ich erstmal aufschreiben, was es bedeutet, daß diese Vektoren in U sind. (Die Sache mit der Summe)
>
> Betrachte:
> z = x + y = [mm](x_1[/mm] + [mm]y_1,...,x_5[/mm] + [mm]y_5) \in[/mm] U. Zunächst sind
> die [mm]z_i \in \IZ_p,[/mm] da [mm]\IZ_p[/mm] ein kommutativer Ring ist
> (steht so im Skript, ich hab das Gefühl das muss man hier
> verwenden).
Ja, es ist sicher nicht schädlich, das hinzuschreiben, wobei es andererseits auch wiederum klar ist, weil [mm] K^5 [/mm] über K ein VR ist.
> Für x + y =
Dies Gleichheitszeichen ist Quatsch. x+y ist ein Vektor, die darauffolgende Summe ein Körperlement.
Schreibe so.
Es ist
> [mm]\summe_{i=1}^{5}{(6-i)(x_i+y_i)}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{5}{(6-i)x_i+ (6-i) y_i)}[/mm] =
(Distributivgesetz in K)
> [mm]\summe_{i=1}^{5}{(6-i)x_i}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{5}{(6-i)y_i}[/mm] =
(Kommutativgesetz in K)
> 0.
(denn x, y [mm] \in [/mm] U)
Also ist [mm] x+y\in [/mm] U.
> Ich denke mir muss erstmal das klar werden, bevor ich mich
> überhaupt an die anderen Sachen herantrauen kann :-/
Du kannst Dich trauen. War doch nicht übel, das hier.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Sa 24.11.2007 | | Autor: | quest |
Hallo Angela!
Ja das macht Mut 
Um das Unterraumkriterium noch abzuschließen, muss ich zeigen, dass "skalare Vielfache" wiederum in U sind.
Also sei x [mm] \in [/mm] U beliebig und t [mm] \in \IZ_p.
[/mm]
Betrachte x * t [mm] \in [/mm] U, da:
[mm] $\summe_{i=1}^{5}{(6-i)(t x_i)} [/mm] = t [mm] \summe_{i=1}^{5}{(6-i)(x_i)} [/mm] = t * 0 = 0$.
Hier wird die Distributivität in [mm] \IZ_p [/mm] verwendet.
Damit wäre der Teil ja quasi fertig, oder ?
(c) Die nächste Herausforderung ist dann V [mm] \leq [/mm] U [mm] \forall [/mm] p Primzahl.
Jetzt muss ich zeigen, dass der V := [mm] [/mm] ein Unterraum von U ist für jede Primzahl p.
Muss ich jetzt noch erst zeigen, das die Elemente von V sicher in U liegen?
Irgendwie machen mich die Aufgaben ein wenig verrückt, denn ich glaube die sind nicht so schwierig, das ist nur alles relativ kompliziert!!! Ich kann mir dazu einfach überhaupt nichts vorstellen.
Ansonsten muss ich wohl wieder das Unterraumkriterium rausholen.
Also x,y [mm] \in [/mm] V. Betrachte die Summe:
x + y = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] y_1, [/mm] ..., [mm] x_5+y_5), [/mm] diese sollte dann wieder in V liegen. D.h. ich kann x + y als Linearkombination der [mm] v_1,...,v_4 [/mm] darstellen.
Irgendwie ist mir das klar,... aber aufschreiben? Oder soll ich hier anderswo ansetzen?
Viele Grüße und danke für die Hilfe,
Quest
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> Um das Unterraumkriterium noch abzuschließen, muss ich
> zeigen, dass "skalare Vielfache" wiederum in U sind.
>
> Also sei x [mm]\in[/mm] U beliebig und t [mm]\in \IZ_p.[/mm]
>
> Betrachte x * t [mm]\in[/mm] U, da:
> [mm]\summe_{i=1}^{5}{(6-i)(t x_i)} = t \summe_{i=1}^{5}{(6-i)(x_i)} = t * 0 = 0[/mm].
>
> Hier wird die Distributivität in [mm]\IZ_p[/mm] verwendet.
>
> Damit wäre der Teil ja quasi fertig, oder ?
Ja.
>
> (c) Die nächste Herausforderung ist dann V [mm]\leq[/mm] U [mm]\forall[/mm] p
> Primzahl.
>
> Jetzt muss ich zeigen, dass der V := [mm][/mm] ein
> Unterraum von U ist für jede Primzahl p.
>
> Muss ich jetzt noch erst zeigen, das die Elemente von V
> sicher in U liegen?
Das ist die eigentliche und einzige Frage, die sich hier stellt.
Du mußt zeigen, daß für alle [mm] x\in [/mm] V gilt: [mm] x\in [/mm] U.
Denn daß V ein Unterraum ist, ist nach Def. v. V so, denn V ist ja der von [mm] x_1,...,x_4 [/mm] aufgespannte Unterraum.
Daher kannst Du Dein Unterraumkriterium diesmal stecken lassen.
Sei x [mm] \in [/mm] V.
Dann gibt es [mm] k_1,..., k_4\in [/mm] K mit [mm] x=k_1v_1+...+k_4v_4, [/mm] und nun mußt Du plausibel machen, daß dieser Vektor in U liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 So 25.11.2007 | | Autor: | quest |
Hallo und guten Morgen.
Ich glaube ich sehe wohin die Reise geht
Also x [mm] \in [/mm] V beliebig, dann existieren [mm] k_1,...,k_4 \in \IZ_p, [/mm] derart das x = [mm] k_1 v_1 +...+k_1 v_4
[/mm]
, also
x = [mm] k_1 [/mm] (0,0,2,-3,0) + [mm] k_2 [/mm] (0,0,0,1,-2) + [mm] k_3 [/mm] (0,3,-4,0,0) + [mm] k_4 [/mm] (4,-5,0,0,0)
Betrachte nun [mm] $\summe_{i=1}^{5}{(6-i)(x_i)} [/mm] = 5 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] k_4 [/mm] + 4 (3 [mm] k_3 [/mm] - 5 [mm] k_4) [/mm] + 3 [mm] (2k_1 [/mm] - [mm] 4k_3) [/mm] + 2 [mm] (-3k_1+k_2) [/mm] + 1 (-2 [mm] k_2) [/mm] = 20 [mm] k_4 [/mm] + 12 [mm] k_3 [/mm] - 20 [mm] k_4 [/mm] + 6 [mm] k_1 [/mm] - 12 [mm] k_3 [/mm] - 6 [mm] k_1 [/mm] + [mm] 2k_2 [/mm] - [mm] 2k_2 [/mm] = 0$
Jippi Und damit ist quasi gezeigt, dass jeder Vektor aus V in U liegt.
Aber ich bin mir hierbei nicht immer sicher, denn rein theoretisch muss ich doch mit den Resten rechnen, also sicherstellen, dass die einzelnen Zahlen mit denen ich rechne in [mm] \IZ_p [/mm] sind. Das verwirrt mich hier immer ein bisschen...
Ich glaube d) Für p = 2 gilt V < U bekomme ich jetzt selber hin.
Vielen dank und einen schönen Sonntag
Quest
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Hallo,
wie kommt man denn bei Tiel
a)
v1=(0,0,0,1,0)
v2=(0,0,0,1,0)
v3=(0,1,0,0,0)
v4=(0,1,0,0,0)
????
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 25.11.2007 | | Autor: | quest |
Hallo.
Na da hatte ich zunächst auch Probleme. Für p= 2 ist K = [mm] \IZ_2, [/mm] also nur 0 und 1. Das sind diese Restklassen. Die Elemente der Vektoren sind aus K = [mm] \IZ_2 [/mm] in dem Fall.
Für Vektor [mm] v_1 [/mm] = (0,0,2,-3,0) = (0,0,0,1,0), die drei hat bei Division mit 2 einen Rest 1, die 2 hat offensichtlich keinen Rest.
Gruß
quest
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alles klar, danke für die schöne erklärung....also bei p=2 komme ich auf das selbe ergebnis, aber p=3 komme ich auf andere vektoren wenn man das mit modulo rechnet.ich schreibe mal auf wie ich das gerechnet habe:
v1=(0,0,2,-3,0) also 2%3=0 und -3%3=0 also v1=(0,0,0,0,0)
v2=(0,0,0,1,-2) also 1%3=0 und -2%3=0 also v2=(0,0,0,0,0)
v3=(0,3,-4,0,0) also 3%3=0 und -4%3=1 also v3=(0,0,-1,0,0)
v4=(4,-5,0,0,0) also 4%3=1 und -5%3=-2 also v4=(1,-2,0,0,0)
aber diese vektoren sehen ja nun anders aus als deine,wie hast du das gerechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 So 25.11.2007 | | Autor: | quest |
hallo
2 geteilt durch 3 gibt bei mir nen rest 2!
Grüße
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was ich dann aber auch nich verstehe, bei manchen rechnest du mit - (minus) und bei manchen nich, hat das nen grund?
zb bei p=3
v2=(0,0,0,1,-2) is ok
bei v3=(0,0,1,0,0) müsste doch aber -1 sein da da -4%3=-1
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> was ich dann aber auch nich verstehe, bei manchen rechnest
> du mit - (minus) und bei manchen nich, hat das nen grund?
> zb bei p=3
Hallo,
wie man das macht, kommt auf den Einzelfall drauf an und auf die persönlichen Präferenzen.
Du hast aber recht damit, daß quest den [mm] v_3 [/mm] für p=3 nicht richtig berechnet hat:
Es ist [mm] v_3=(0,3,-4,0,0)=(0,0,-1,0,0)=(0,0,2,0,0)
[/mm]
Gruß v. Angela
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na dann is ja gut,
dann hab ich aber noch eine weitere Frage:
es ist ja dann -2v3=v1, somit sind doch die beiden vektoren von ein andere abhängig und meiner meinung nach is dann dimV=2, da ich nur 2 linear unabhängig vektoren habe, oder nicht?
Gruß
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> es ist ja dann -2v3=v1, somit sind doch die beiden vektoren
> von ein andere abhängig und meiner meinung nach is dann
> dimV=2, da ich nur 2 linear unabhängig vektoren habe, oder
> nicht?
Bist Du bei p=3 ?
Auch durch dne Tippfehler ändert sich das Ergebnis nicht.
Es ist nun [mm] v_1 [/mm] = [mm] v_3,
[/mm]
aber [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] sind nach wie vor linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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> Also x [mm]\in[/mm] V beliebig, dann existieren [mm]k_1,...,k_4 \in \IZ_p,[/mm]
> derart das x = [mm]k_1 v_1 +...+k_1 v_4[/mm]
> , also
>
> x = [mm]k_1[/mm] (0,0,2,-3,0) + [mm]k_2[/mm] (0,0,0,1,-2) + [mm]k_3[/mm] (0,3,-4,0,0)
> + [mm]k_4[/mm] (4,-5,0,0,0)
>
> Betrachte nun [mm]\summe_{i=1}^{5}{(6-i)(x_i)} = 5 \cdot 4 k_4 + 4 (3 k_3 - 5 k_4) + 3 (2k_1 - 4k_3) + 2 (-3k_1+k_2) + 1 (-2 k_2) = 20 k_4 + 12 k_3 - 20 k_4 + 6 k_1 - 12 k_3 - 6 k_1 + 2k_2 - 2k_2 = 0[/mm]
>
> Jippi Und damit ist quasi gezeigt, dass jeder Vektor
> aus V in U liegt.
Hallo,
ja, das ist gezeigt, und damit bist Du auch mit diesem Aufgabenteil fertig.
>
> Aber ich bin mir hierbei nicht immer sicher, denn rein
> theoretisch muss ich doch mit den Resten rechnen,
Ja, das ist alles Rechnen mit Resten. Wenn da steht 20 ist gemeint die Restklasse v. 20 mod p, in der von mir bevorzugten Schreibweise wäre das [mm] [20]_p. [/mm] Für p=7 wäre [mm] [20]_7= [6]_7=[-1]_7. [/mm]
Wenn wir jetzt addieren, z.B. [mm] [20]_7+[61]_7=[81]_7=[4]_7 [/mm] ist das dasselbe wie [mm] [6]_7+[5]_7=[11]_7=[4]_7, [/mm] ist es egal, ob wir mit den großen Zahlen oder den kleinen rechen.
Das Rechnen mit Resten ist das rechnen mit Restklassen, und es ist unabhängig davon, welchen Repräsentanten der Restklasse Du wählst
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 25.11.2007 | | Autor: | quest |
Hallo Angela...
da war ich wohl ein bisschen vorschnell gewesen :-/
Irgendwie ist mir nicht ganz klar, wie ich d) zeigen soll. Ich dachte, dass das über so nen "Dimensionsargument" geht, weil ja in a) herauskam, dass für p = 2 dim V = 2 ist, aber U <= [mm] \IZ_p^5 [/mm] . Aber damit komme ich nicht weiter.
Im Endeffekt brauche einen Vektor, der in U ist, aber nicht in V für p=2.
Ich glaube in dem Vektor x = (1,1,1,1,0) so einen gefunden zu haben. Zunächst is x [mm] \in [/mm] U, da 5 + 4 + 3 + 2 = 14 = 0 in [mm] \IZ_2.
[/mm]
Es ist aber eine Basis von V für p = 2 die Vektoren :
[mm] v_1 [/mm] = (0,0,0,1,0) und [mm] v_2 [/mm] = (0,1,0,0,0). Und ich kann den Vektor x nicht durch diese beiden darstellen.
Reicht das?
Grüße und dank und einen schönen Sontagabend
Quest
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> Im Endeffekt brauche einen Vektor, der in U ist, aber nicht
> in V für p=2.
Genau. Es geht darum, daß es für p=2 eine echte Untergruppe ist.
Untergruppe wissen wir schon, es geht ums "echt".
> Ich glaube in dem Vektor x = (1,1,1,1,0) so einen gefunden
> zu haben. Zunächst is x [mm]\in[/mm] U, da 5 + 4 + 3 + 2 = 14 = 0 in
> [mm]\IZ_2.[/mm]
>
> Es ist aber eine Basis von V für p = 2 die Vektoren :
>
> [mm]v_1[/mm] = (0,0,0,1,0) und [mm]v_2[/mm] = (0,1,0,0,0). Und ich kann den
> Vektor x nicht durch diese beiden darstellen.
>
> Reicht das?
Ja.
Gruß v. Angela
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