Dimension und Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Petschen |
| Aufgabe |
Sei U der Untervektorraum im IR3 der von den Vektoren
u= (1,-1,3), v=(2,4,1), w=(-1,-11,7)
aufgespannt wird, d.h. U=span{u,v,w}.
a) Man bestimme die Dimension von U.
b) Man gebe eine Basis von U an (mit Begründung)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider glaube ich keinen Plan zu haben.
Also, ich habe so angefangen:
Ich habe die Vektoren in eine lineares Gleichungssystem umgestellt, um zu prüfen, ob die Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander sind.
1u + 2v - 1w = 0
-1u + 4v - 11w = 0
3u + 1v + 7w = 0
kam dann zu dem Ergebniss:
1u + 2v - 1w = 0
0u + 1v - 2w = 0
0u + 0v + 0w= 0
Diese Ergebniss ließ mich darauf schließen, dass die Vektoren voneinander abhängig sind.
Die Dimension müßte nun 2 betragen.
Nun scheitere ich an der Basis.
Und der Begründung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mo 16.01.2006 | | Autor: | smee |
Hallo!
> Ich habe die Vektoren in eine lineares Gleichungssystem umgestellt, um zu prüfen, ob die Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander sind.
Jawoll!
> 1u + 2v - 1w = 0
> 0u + 1v - 2w = 0
> 0u + 0v + 0w= 0
Allerdings würde ich hier andere Buchstaben verwenden, da du versuchst die Koeffizienten der Linearkombination zu bestimmen (s.u.), also anstatt u, v, w z.B. [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3}.
[/mm]
> Diese Ergebniss ließ mich darauf schließen, dass die Vektoren voneinander abhängig sind.
> Die Dimension müßte nun 2 betragen.
Soweit alles richtig.
> Nun scheitere ich an der Basis.
> Und der Begründung.
Aus deinem Gleichungssystem ergibt sich doch, dass du einen Parameter (also Koeffizienten) frei wählen kannst und die anderen dann von diesem abhängen:
[mm] 1a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{2} [/mm] - [mm] 1a_{3} [/mm] = 0
[mm] 0a_{1} [/mm] + [mm] 1a_{2} [/mm] - [mm] 2a_{3} [/mm] = 0
[mm] 0a_{1} [/mm] + [mm] 0a_{2} [/mm] + [mm] 0a_{3}= [/mm] 0
=> [mm] a_{2} [/mm] = [mm] 2a_{3} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] = [mm] -3a_{3}
[/mm]
Für [mm] a_{3} [/mm] = 1 erhältst du dann die Koeffizienten -3, 2, 1 als nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors. D.h. auch: Du kannst einen der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellen.
Deine Basis sind dann einfach die beiden restlichen Vektoren, die linear unabhängig sind und Erzeugendensystem, was die (bzw. eine) Definition der Basis eines Vektorraums ist.
Gruß,
Carsten
(Ich schreibe meine "Antwort" mal lieber erst mal als Mitteilung, weil ich mir nicht sicher bin, ob meine Erklärungen wirklich 100%ig einwandfrei sind  )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Di 17.01.2006 | | Autor: | Petschen |
Herzlichen Dank für Deine Hilfe.
Gruß Mo
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