www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraDimension und Basis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Dimension und Basis
Dimension und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dimension und Basis: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Di 06.12.2005
Autor: Franzie

Hallöchen!
Wollte mal fragen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe:
Es seien V ein vierdimensionaler Vektorraum über  [mm] \IR [/mm] und b1,...,b4 eine Basis von V.
v1:= b1-2*b2+b4
v2:= 2*b3+5*b4
v3:= -2*b1+4*b2+2*b3+3*b4
a) Sind die Vektoren linear unabhängig?
Ich würde sagen ja, da  [mm] \mu1 [/mm] *(b1-2*b2+b4)+ [mm] \mu2*(2*b3+5*b4)+ \mu3*(-2*b1+4*b2+2*b3+3*b4)=0 [/mm]
0=b1*( [mm] \mu1 [/mm] -2* [mm] \mu3)+b2*(4* \mu3 [/mm] -2* [mm] \mu1 [/mm] )+b3*(2* [mm] \mu2+2* \mu3)+b4*(3* \mu3+5* \mu2) [/mm]
also  [mm] \mu1 [/mm] =2* [mm] \mu3, [/mm] 4* [mm] \mu3=2* \mu1 [/mm] , 2* [mm] \mu2=-2* \mu3, [/mm] 3* [mm] \mu3=-5* \mu2 [/mm] und daher linear abhängig

b) Geben Sie eine Basis für [mm] U:=Span\{v1,v2,v3 \} [/mm] an!
Dazu ahb ich die Vektoren als Zeilenvektoren aufgefasst und als Matrix der folgenden Form auf Stufenform gebracht:

A=  [mm] \pmat{ b1 & -2*b2 & b4 & 0\\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ -2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 } [/mm] mit vertauschen z3 mit z1
A=  [mm] \pmat{-2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 \\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ b1 & -2*b2 & b4 & 0} [/mm] mit vertauschen s1 und s4
A=  [mm] \pmat{3*b4 & 4*b2 & 2*b3 & -2*b1\\ 0 & 5*b4 & 0 & 2*b3 \\ 0 & -2*b2 & b4 & b1} [/mm] mit vertauschen von s1 und s4
A=  [mm] \pmat{3*b4 & -2*b1 & 2*b3 & 4*b2\\ 0 & 2*b3 & 0 & 5*b4 \\ 0 & b1 & b4 & -2*b2} [/mm] und damit ist eine Basis die Zeilen, die nicht der Nullvektor sind, also

b1=  [mm] \vektor{3*b4 \\ -2*b1 \\ 2*b3 \\ 4*b2} [/mm]
b2= [mm] \vektor{0 \\ 2*b3 \\ 0 \\ 5*b4} [/mm]
b3= [mm] \vektor{0 \\ b1 \\ b4 \\ -2*b2} [/mm]

c) Welche Dimension hat U?
dimU= 2, da rg=2

d) Ergänzen Sie die Basis aus b) zu einer Basis von  [mm] \IR^{4} [/mm]
da hab ich gedacht, ich könnte das mit dem Vektor [mm] b4=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] machen.

danke schon mal für's Durchgucken!
Wünsche einen fleißigen Nikolaus!
liebe Grüße



        
Bezug
Dimension und Basis: Rechen und andere Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:01 Di 13.12.2005
Autor: leduart

Hallo Franzie
> Hallöchen!
>  Wollte mal fragen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst
> habe:
>  Es seien V ein vierdimensionaler Vektorraum über  [mm]\IR[/mm] und
> b1,...,b4 eine Basis von V.
>  v1:= b1-2*b2+b4
>  v2:= 2*b3+5*b4
>  v3:= -2*b1+4*b2+2*b3+3*b4
>  a) Sind die Vektoren linear unabhängig?
>  Ich würde sagen ja, da  [mm]\mu1[/mm] *(b1-2*b2+b4)+

hier sagst du ja, unten aber abhängig!

> [mm]\mu2*(2*b3+5*b4)+ \mu3*(-2*b1+4*b2+2*b3+3*b4)=0[/mm]
>  0=b1*(
> [mm]\mu1[/mm] -2* [mm]\mu3)+b2*(4* \mu3[/mm] -2* [mm]\mu1[/mm] )+b3*(2* [mm]\mu2+2* \mu3)+b4*(3* \mu3+5* \mu2)[/mm]

Fehler im letzten Ausdruck!  [mm] b4*(\mu1+3* \mu3+5* \mu2) [/mm]

> also  [mm]\mu1[/mm] =2* [mm]\mu3,[/mm] 4* [mm]\mu3=2* \mu1[/mm] , 2* [mm]\mu2=-2* \mu3,[/mm] 3*
> [mm]\mu3=-5* \mu2[/mm] und daher linear abhängig

jetzt musst du doch erst nachprüfen ob das System lösbar ist für alle [mm] \mu\ne [/mm] 0!  Das system, das du angegeben hattest war nur für alle [mm] \mu=0 [/mm] lösbar!
Meines hat Lösungen ungleich 0! also sind die vi nicht linear unabhängig.

> b) Geben Sie eine Basis für [mm]U:=Span\{v1,v2,v3 \}[/mm] an!
>  Dazu ahb ich die Vektoren als Zeilenvektoren aufgefasst
> und als Matrix der folgenden Form auf Stufenform gebracht:
>  
> A=  [mm]\pmat{ b1 & -2*b2 & b4 & 0\\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ -2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 }[/mm]

b1 bis b4 sind doch keine Zahlen sondern Vektoren! dann kannst du doch die Matrix nicht so schreiben!
Ausserdem hat doch U höchstens dim=2 also kannst du auch nur 2 Basisvektoren angeben!

> mit vertauschen z3 mit z1
> A=  [mm]\pmat{-2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 \\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ b1 & -2*b2 & b4 & 0}[/mm]
> mit vertauschen s1 und s4
> A=  [mm]\pmat{3*b4 & 4*b2 & 2*b3 & -2*b1\\ 0 & 5*b4 & 0 & 2*b3 \\ 0 & -2*b2 & b4 & b1}[/mm]
> mit vertauschen von s1 und s4
>   A=  [mm]\pmat{3*b4 & -2*b1 & 2*b3 & 4*b2\\ 0 & 2*b3 & 0 & 5*b4 \\ 0 & b1 & b4 & -2*b2}[/mm]
> und damit ist eine Basis die Zeilen, die nicht der
> Nullvektor sind, also
>  
> b1=  [mm]\vektor{3*b4 \\ -2*b1 \\ 2*b3 \\ 4*b2}[/mm]
>  b2= [mm]\vektor{0 \\ 2*b3 \\ 0 \\ 5*b4}[/mm]
>  
> b3= [mm]\vektor{0 \\ b1 \\ b4 \\ -2*b2}[/mm]
>  
> c) Welche Dimension hat U?
>  dimU= 2, da rg=2

rg von was? wo hast du diesen rg berechnet?
Siehe oben, du hast aber 3 Basisvektoren gegeben.    
Leider noch mal anfangen. Du musst aus den 3 Vektoren 2 lin. unabhängige raussuchen oder herstellen, je 2 lin unabh, die aus v1,v2,v3 bestehen bilden eine Basis. die 2 zusätlichen müssen dann so gewählt werden, dass alle 4 lin. unabh. sind. und das musst du auch zeigen und nicht irgendeinen nehmen!
Gruss leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]