Dimension von Unterräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper und [mm] V_{1},V_{2} [/mm] die Unterräume von [mm] K^{4}, [/mm] die durch die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3 \\ 1},\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 2}, [/mm] bzw. [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 2 \\ 1 \\ 1},
[/mm]
erzeugt werden.
Man bestimme [mm] dim_{K}V_{1}, dim_{K}V_{2}, dim_{K}(V_{1} \cap V_{2}) [/mm] und [mm] dim_{K}(V_{1}+V_{2}).
[/mm]
Hinweis: Die Antwort ist abhängig von K. |
Guten Abend,
ich habe diese Aufgabe gelöst, aber der Hinweis verwirrt mich ein bisschen. Ich hab jetzt ganz allgemein die Dimensionen bestimmt.
Offensichtlich ist [mm] dim_{K}V_{1}=2=dim_{K}V_{2}. [/mm] So, nach dem Dimensionssatz für Unterräume gilt:
[mm] dim_{K}V_{1}+dim_{K}V_{2}=dim_{K}(V_{1}+V_{2})+dim_{K}(V_{1} \cap V_{2}), [/mm] d.h.
[mm] 4=dim_{K}(V_{1}+V_{2})+dim_{K}(V_{1} \cap V_{2}).
[/mm]
Dann hab ich mir überlegt, dass der Schnitt von zwei Unterräumen immer den Nullvektor enthält, also müsste er die Dimension 1 haben, wobei ich mir unsicher bin, ob der Nullvektor der einzige Vektor ist, der im Schnitt liegt. Wenn das so ist, dann ist [mm] dim_{K}(V_{1}+V_{2})=3.
[/mm]
So, und das gilt doch für [mm] K=\IR, K=\IQ, K=\IC, [/mm] denn ich sehe da keine Einschränkung für einen dieser Körper. Nur bei [mm] K=\IF_{p} [/mm] weiß ich nicht genau, was ich ändern muss. Wie kann ich denn hier am besten vorgehen?
Vielen Dank
lg
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> Seien K ein Körper und [mm]V_{1},V_{2}[/mm] die Unterräume von
> [mm]K^{4},[/mm] die durch die Vektoren [mm]\vektor{1 \\
1 \\
3 \\
1},\vektor{2 \\
-1 \\
0 \\
2},[/mm]
> bzw. [mm]\vektor{0 \\
0 \\
-1 \\
1},\vektor{-1 \\
2 \\
1 \\
1},[/mm]
>
> erzeugt werden.
> Man bestimme [mm]dim_{K}V_{1}, dim_{K}V_{2}, dim_{K}(V_{1} \cap V_{2})[/mm]
> und [mm]dim_{K}(V_{1}+V_{2}).[/mm]
> Hinweis: Die Antwort ist abhängig von K.
> Guten Abend,
>
> ich habe diese Aufgabe gelöst, aber der Hinweis verwirrt
> mich ein bisschen. Ich hab jetzt ganz allgemein die
> Dimensionen bestimmt.
>
> Offensichtlich ist [mm]dim_{K}V_{1}=2=dim_{K}V_{2}.[/mm] So, nach
> dem Dimensionssatz für Unterräume gilt:
>
> [mm]dim_{K}V_{1}+dim_{K}V_{2}=dim_{K}(V_{1}+V_{2})+dim_{K}(V_{1} \cap V_{2}),[/mm]
> d.h.
>
> [mm]4=dim_{K}(V_{1}+V_{2})+dim_{K}(V_{1} \cap V_{2}).[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Dann hab ich mir überlegt, dass der Schnitt von zwei
> Unterräumen immer den Nullvektor enthält,
ja, weil der Schnitt ein UVR ist.
> also müsste er
> die Dimension 1 haben,
Wenn der Nullraum der Schnitt ist, hat er die Dimension 0.
> wobei ich mir unsicher bin, ob der
> Nullvektor der einzige Vektor ist, der im Schnitt liegt.
Eben. Der kann jede Dimension von 0 bis 4 haben.
Berechne die Dimension des Summenraumes, dann kenst Du die des Schnittes.
> So, und das gilt doch für [mm]K=\IR, K=\IQ, K=\IC,[/mm] denn ich
> sehe da keine Einschränkung für einen dieser Körper. Nur
> bei [mm]K=\IF_{p}[/mm] weiß ich nicht genau, was ich ändern muss.
Eben.
Ich würde jetzt erstmal losrechnen, was Du für die "normalen" Körper bekommst, und dann schauen, was sich für andere Körper ändern würde.
Ich würde ja mal sagen, daß man [mm] $K=\IF_{2}$ [/mm] und [mm] $K=\IF_{3}$ [/mm] genauer anschauen müßte.
Gruß v. Angela
> Wie kann ich denn hier am besten vorgehen?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:09 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, also für den [mm] \IF_{2} [/mm] hab ich jetzt keine Einschränkung gesehen,nur für den [mm] \IF_{3}, [/mm] da ist:
dim V1=1, dimV2=2 und dim(V1+V2)=2, somit dim(V1 [mm] \cap [/mm] V2)=1.
Für alle anderen Körper hab ich dim(V1)=2, dim(V2)=2, dim(V1+V2)=3, dim(V1 [mm] \cap [/mm] V2)=1.
Ich weiß aber nicht ob ich dim(V1+V2) richtig berechnet habe.
Ich hab einfach die 2 Vektoren aus der linearen Hülle von V1 und die 2 aus der linearen Hülle von V2 als 4 [mm] \times [/mm] 4 Matrix aufgeschrieben und auf Stufenform gebracht und dann die Dimension abgelesen. Kann man das so machen?
Und wenn ich dim(V1) berechnen will, muss ich dann
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & 2 } [/mm] auf Stufenform bringen und die Dimension ablesen oder
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 2 } [/mm] auf Stufenform bringen und die Dimension ablesen oder ist das egal? Ich habs bei beiden gemacht und bei beiden kommt die Dimension 2 raus, aber was ist die richtige Vorgehensweise?
lg
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> Ok, also für den [mm]\IF_{2}[/mm] hab ich jetzt keine
> Einschränkung gesehen,nur für den [mm]\IF_{3},[/mm] da ist:
> dim V1=1, dimV2=2 und dim(V1+V2)=2, somit dim(V1 [mm]\cap[/mm]
> V2)=1.
>
> Für alle anderen Körper hab ich dim(V1)=2, dim(V2)=2,
> dim(V1+V2)=3, dim(V1 [mm]\cap[/mm] V2)=1.
Hallo,
ja, das habe ich auch.
>
> Ich weiß aber nicht ob ich dim(V1+V2) richtig berechnet
> habe.
> Ich hab einfach die 2 Vektoren aus der linearen Hülle von
> V1 und die 2 aus der linearen Hülle von V2 als 4 [mm]\times[/mm] 4
> Matrix aufgeschrieben und auf Stufenform gebracht und dann
> die Dimension abgelesen. Kann man das so machen?
Ja, klar: Du willst doch wissen, welche Dimension der von den 4 Vektoren aufgespannte Raum hat.
>
> Und wenn ich dim(V1) berechnen will, muss ich dann
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 & 1 \\
2 & -1 & 0 & 2 }[/mm] auf Stufenform
> bringen und die Dimension ablesen oder
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
1 & -1 \\
3 & 0 \\
1 & 2 }[/mm] auf Stufenform
> bringen und die Dimension ablesen oder ist das egal?
Wenn Du bloß die Dimension des Raumes wissen möchtest, ist es egal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank.
Eine Frage beschäftigt mich aber immer noch. Kann man nicht irgendwie direkt die Dimension des Schnitts von den beiden Unterräumen berechnen, also nicht über den Dimensionssatz?
Ich habs mit folgendem Ansatz probiert:
[mm] a*\vektor{1 \\ 1 \\ 3 \\ 1}+b*\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 2}=c*\vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 1}+d*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Am Ende hab ich dann a,c und d in Abhängigkeit von b gekriegt,also wird der Schnitt durch einen eizigen Vektor erzeugt, somit ist die Dimension des Schnitts 1.
Kann man das so machen, oder ist das falsch?
lg
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> Ok,vielen Dank.
>
> Eine Frage beschäftigt mich aber immer noch. Kann man
> nicht irgendwie direkt die Dimension des Schnitts von den
> beiden Unterräumen berechnen, also nicht über den
> Dimensionssatz?
Hallo,
vor allem würde einen ja manchmal durchaus interessieren, was der Schnitt ist und nicht bloß seine Dimension.
>
> Ich habs mit folgendem Ansatz probiert:
>
> [mm]a*\vektor{1 \\
1 \\
3 \\
1}+b*\vektor{2 \\
-1 \\
0 \\
2}=c*\vektor{0 \\
0 \\
-1 \\
1}+d*\vektor{-1 \\
2 \\
1 \\
1}.[/mm]
>
> Am Ende hab ich dann a,c und d in Abhängigkeit von b
> gekriegt,also wird der Schnitt durch einen eizigen Vektor
> erzeugt, somit ist die Dimension des Schnitts 1.
> Kann man das so machen, oder ist das falsch?
Es klingt genau richtig. Man kennt das ja auch aus der Schule.
Es gibt übrigens einen Algorithmus, mit welchem man in einem Abwasch eine basis von Summe und Schnittbestimmen kann, den ![[]](/images/popup.gif) Zassenhaus-Algorithmus.
Schau Dir ggf. das Beispiel an, da siehst Du, wie er geht. (Aber nicht für die HÜ verwenden, wenn Ihr ihn nicht besprochen habt.)
Gruß v. Angela
>
> lg
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