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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:03 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Gero |
Also, diesmal andersherum. Ich habe mir zu folgender Aufgabe Gedanken gemacht und weiß jetzt aber nicht, ob man die Antwort auch so schreiben kann.
Also, die Aufgabe ist:
Sei V endlichdimensionaler K-Vektorraum und U [mm] \subset [/mm] V ein Unterraum. Zeige:
a.) dim U=0 [mm] \gdw [/mm] U=0
b.) dim U=dimV [mm] \gdw [/mm] V=U
Dazu noch der Tipp von meinem Tutor : 3x Kontraposition und 1x trivial
Nun meine Lösung :
a.) U= {v1,...,vn} und n:={1,...,n}
[mm] \Rightarrow [/mm] z.z.: dim U [mm] \not=0 \Rightarrow [/mm] U [mm] \not=0
[/mm]
dim U [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] v1,...,vn ≠ 0 [mm] \Rightarrow [/mm] dim (v1,...,vn) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] v1,...,vn [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] dim U = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] U=0
[mm] \Leftarrow [/mm] z.z.: U [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] dim U [mm] \not= [/mm] O
dim U [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (v1,....,vn) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] dim (v1,
,vn) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] dim U [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] U=0 [mm] \Rightarrow [/mm] dim U =0
[mm] \Rightarrow [/mm] dim U=0 [mm] \gdw [/mm] U=0
b.) U:={v1,...,vk}; V:={v1,...,vm} und m,k :={1,
,n}
[mm] \Rightarrow [/mm] z.z.: dim U [mm] \not= [/mm] dim V [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \not= [/mm] V
dim U [mm] \not= [/mm] dim V [mm] \Rightarrow [/mm] dim (v1,...,vk) [mm] \not= [/mm] dim (v1,...,vm) [mm] \Rightarrow [/mm] (v1,...,vk) [mm] \not= [/mm] (v1,...,vk) [mm] \Rightarrow [/mm] U≠V
[mm] \Rightarrow [/mm] dim U=dim V [mm] \Rightarrow [/mm] U=V
[mm] "\Leftarrow" [/mm] z.z. : U [mm] \not= [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] dim U [mm] \not= [/mm] dim V
U≠V [mm] \Rightarrow [/mm] (v1,...,vk) [mm] \not= [/mm] (v1,...,vm) [mm] \Rightarrow [/mm] dim(v1,...,vk) [mm] \not= [/mm] dim (v1,
,vm) [mm] \Rightarrow [/mm] dim U [mm] \not= [/mm] dim V
[mm] \Rightarrow [/mm] U=V [mm] \Rightarrow [/mm] dim U = dim V
[mm] \Rightarrow [/mm] dim U = dim V [mm] \Rightarrow [/mm] U=V
Vielleicht kann sich das ja mal jemand durchsehen und falls es falsch sein sollte, könnte mir dann jemand einen neuen Lösungsansatz geben?
Danke schon mal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
Ich werd aus deinem Beweis nicht so ganz schlau.
Wenn du schreibst: [mm] U={v_1, ..., v_n} [/mm] meinst du dann wirklich, dass U aus den Elementen [mm] v_1, [/mm] ... [mm] ,v_n [/mm] besteht oder ist das eine Basis von U. Und n:={1,...,n} ergibt auch keinen Sinn. Du meinst sicher [mm] n\in\IN [/mm] oder n=1,2,...
Du solltest das nochmal überarbeiten.
Tip: Benutz doch bei b) den Basisergänzungssatz
mfg Verena
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