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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Sei F : V [mm] \to [/mm] W linear und U [mm] \subset [/mm] W ein Unterraum. Man zeige, dass dann
dim [mm] F^{-1}(U) [/mm] = dim (U [mm] \cap [/mm] Im F) + dim Ker F
gilt. |
Folgendes weiß ich schon:
U [mm] \subset [/mm] W [mm] \Rightarrow F^{-1}(U) \subset [/mm] V
Ker F [mm] \subset [/mm] V
Im F [mm] \subset [/mm] W
Außerdem kenne ich die Dimensionsformel:
dim (V) = dim Ker F + dim Im F
Nun kann ich die Dimensionsformel sowie die gegebene Gleichung jeweils nach dim Ker F auflösen und gleichsetzen:
dim [mm] F^{-1}(U) [/mm] - dim (U [mm] \cap [/mm] Im F) = dim (V) - dim Im F
dim [mm] F^{-1}(U) \le [/mm] dim (V)
dim (U [mm] \cap [/mm] Im F) [mm] \le [/mm] dim Im F
1. Fall: dim [mm] F^{-1}(U) [/mm] = dim (V) [mm] \gdw [/mm] dim (U [mm] \cap [/mm] Im F) = dim Im F
2. Fall: dim [mm] F^{-1}(U) [/mm] < dim (V) [mm] \gdw [/mm] dim (U [mm] \cap [/mm] Im F) < dim Im F
Ist nicht U [mm] \subset [/mm] Im F? Dann ergäbe der Schnitt der beiden ja U.
[mm] \Rightarrow [/mm] dim [mm] F^{-1}(U) [/mm] - dim (U) = dim (V) - dim Im F
Weiter weiß ich mir leider nicht zu helfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Do 18.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
Vielleicht klappts heute?
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> Sei F : V [mm]\to[/mm] W linear und U [mm]\subset[/mm] W ein Unterraum. Man
> zeige, dass dann
>
> dim [mm]F^{-1}(U)[/mm] = dim (U [mm]\cap[/mm] Im F) + dim Ker F
>
> gilt.
> Folgendes weiß ich schon:
>
> U [mm]\subset[/mm] W [mm]\Rightarrow F^{-1}(U) \subset[/mm] V
> Ker F [mm]\subset[/mm] V
> Im F [mm]\subset[/mm] W
>
> Außerdem kenne ich die Dimensionsformel:
>
> dim (V) = dim Ker F + dim Im F
>
> Nun kann ich die Dimensionsformel sowie die gegebene
> Gleichung jeweils nach dim Ker F auflösen und
> gleichsetzen:
>
> dim [mm]F^{-1}(U)[/mm] - dim (U [mm]\cap[/mm] Im F) = dim (V) - dim Im F
>
> dim [mm]F^{-1}(U) \le[/mm] dim (V)
> dim (U [mm]\cap[/mm] Im F) [mm]\le[/mm] dim Im F
>
> 1. Fall: dim [mm]F^{-1}(U)[/mm] = dim (V) [mm]\gdw[/mm] dim (U [mm]\cap[/mm] Im F) =
> dim Im F
>
> 2. Fall: dim [mm]F^{-1}(U)[/mm] < dim (V) [mm]\gdw[/mm] dim (U [mm]\cap[/mm] Im F) <
> dim Im F
>
> Ist nicht U [mm]\subset[/mm] Im F? Dann ergäbe der Schnitt der
> beiden ja U.
Hallo,
nein, das ist nicht unbedingt der Fall. U ist irgendeine Teilmenge von W, und ImF ist auch eine Teilmenge von W, aber deswegen ist doch noch lange nicht [mm] U\subseteq [/mm] Bild F.
mach Dir das mal an der Abbildung [mm] $F:\R^3\to \IR^3 [/mm] $ mit [mm] F(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{x\\0\\0} [/mm] und [mm] U:=<\vektor{1\\0\\0} ,\vektor{0\\1\\0} [/mm] klar.
Ich würde die Aufgabe so lösen: U [mm]\cap[/mm] Im F ist ein Vektorraum, hat also eine Basis.
Daraus würde ich mir eine Basis des Urbildes von U [mm]\cap[/mm] Im F basteln, und mir dann überlegen, wie hieraus eine Basis von [mm] F^{-1}(U) [/mm] gewinnen kann.
Mir hilft es immer, das mal konkret zu tun, also etwa für das Beispiel, was ich oben gab.
Gruß v. Angela
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