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| Aufgabe | Es sei t [mm] \in [/mm] R. Man bestimme die Dimension des von den Vektoren
v1 = (1; 2; t + 2); v2 = (-1; t + 1; t); v3 = (0; t; 1)
erzeugten Untervektorraums [mm] U_{t} \subseteq R^{3} [/mm] in Abhäangigkeit von t. |
ok ich hab mir gedacht, dass ich erstmal die t ausrechne, für die diese Vektoren unabhängig sind. in dem ich die gleichung gleich null setze. nach ein wenig rechnen bekomm ich raus:
[mm] 0=\lambda_{2} (-2t^{2}-t+3)
[/mm]
dann bekomm ich raus für t=1 und t= [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] sind die Vektoren abhängig weil ich für diese bekomme: 0= [mm] \lambda_{2}0 [/mm] und des heißt ja linear abhängig weil [mm] \lambda [/mm] freiwählbar.
dann folgt dass die drei Vektoren einen Dreidimensionalen Raum aufspannen für alle t außer t=1 und t=-1,5.
stimmt des soweit oder hab ich mich wo vertan?
wär ich dann schon fertig mit der aufgabe oder muss ich noch was machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sarah,
> Es sei t [mm]\in[/mm] R. Man bestimme die Dimension des von den
> Vektoren
> v1 = (1; 2; t + 2); v2 = (-1; t + 1; t); v3 = (0; t; 1)
> erzeugten Untervektorraums [mm]U_{t} \subseteq R^{3}[/mm] in
> Abhäangigkeit von t.
> ok ich hab mir gedacht, dass ich erstmal die t ausrechne,
> für die diese Vektoren unabhängig sind. in dem ich die
> gleichung gleich null setze. nach ein wenig rechnen bekomm
> ich raus:
> [mm]0=\lambda_{2} (-2t^{2}-t+3)[/mm]
> dann bekomm ich raus für t=1
> und t= [mm]\bruch{-3}{2}[/mm] sind die Vektoren abhängig weil ich
> für diese bekomme: 0= [mm]\lambda_{2}0[/mm] und des heißt ja
> linear abhängig weil [mm]\lambda[/mm] freiwählbar.
> dann folgt dass die drei Vektoren einen Dreidimensionalen
> Raum aufspannen für alle t außer t=1 und t=-1,5.
> stimmt des soweit oder hab ich mich wo vertan?
Das stimmt, sie spannen also den ganzen [mm] $\IR^3$ [/mm] auf!
Untersuche noch die Dimension der Unterräume für [mm] $t=1,-\frac{3}{2}$ [/mm] ...
> wär ich dann schon fertig mit der aufgabe oder muss ich
> noch was machen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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was ist damit gemeint?
muss ich etwa überprüfen ob t=1 und t=-1,5 noch einen zweidimensionalen raum aufspannen?also überprüfen ob es zwei vektoren gibt, die zueinander unabhängig sind? da würd ich aber rausbekommen dass jeweils zwei immer unabhängig sind, v1 zu v2, v1 zu v3 und v2 zu v3. also spannen t=1 und t=-1,5 noch jeweils 3 zweidimensionale räume auf also insgesammt 6 oder was ist gemeint?
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Hallo Sarah_Scholz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> was ist damit gemeint?
> muss ich etwa überprüfen ob t=1 und t=-1,5 noch einen
> zweidimensionalen raum aufspannen?also überprüfen ob es
> zwei vektoren gibt, die zueinander unabhängig sind? da
> würd ich aber rausbekommen dass jeweils zwei immer
> unabhängig sind, v1 zu v2, v1 zu v3 und v2 zu v3. also
> spannen t=1 und t=-1,5 noch jeweils 3 zweidimensionale
> räume auf also insgesammt 6 oder was ist gemeint?
>
Da Du für die Fälle t=1 und [mm]t=-\bruch{3}{2}[/mm] festgestellt hast,
daß zwei Vektoren linear unabhängig sind, lauten die
zugehörigen Dimensionen der Unterräume 2.
Gruss
MathePower
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