Dimensionen von Untervektorrä < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Es seien U und V zwei unterschiedliche 4-dimensionale Untervektorräume eines R−Vektorraums V der
Dimension 6. Bestimmen Sie alle möglichen Dimensionen des Untervektorraums U ∩ V . |
U und V haben die Dimension 4 (würde ich so aus der Aufgabenstellung lesen).
Und zwar gibt es doch die Dimensionsformel:
$ [mm] dim\,(U_1\cap U_2)=dim\, U_1+dim\, U_2-dim\, (U_1+U_2) [/mm] $.
Demnach wäre dim U1 und dim U2 fest. Welche Kombinationen gibt es denn dann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien U und V zwei unterschiedliche 4-dimensionale
> Untervektorräume eines R−Vektorraums V der
> Dimension 6. Bestimmen Sie alle möglichen Dimensionen des
> Untervektorraums U ∩ V .
> U und V haben die Dimension 4 (würde ich so aus der
> Aufgabenstellung lesen).
>
> Und zwar gibt es doch die Dimensionsformel:
>
> [mm]dim\,(U_1\cap U_2)=dim\, U_1+dim\, U_2-dim\, (U_1+U_2) [/mm].
>
> Demnach wäre dim U1 und dim U2 fest. Welche Kombinationen
> gibt es denn dann?
Hallo,
die Dimensionsformel ist mit Sicherheit nützlich.
Du mußt Dir jetzt mal überlegen, welche Dimensionen für [mm] U_1+U_2 [/mm] infrage kommen.
Wie ist [mm] U_1+U_2 [/mm] definiert?
Welches ist die kleinste Dimension, die dieser Raum haben kann, welches die größte?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Wir haben in der Übung dazu etwas aufgeschrieben:
U1=Lin(v1,v2,v3)
U2=Lin(v4,v5,v6)
U1+U2=Lin(v1,v2,v3,v4,v5,v6)
Also 0 die kleinste Dimension und 6 die größte Dimension in diesem Fall?
Im 4 dimensionalen Vektorraum dann:
kleinste Dimension:0 größte: 8
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> Wir haben in der Übung dazu etwas aufgeschrieben:
> U1=Lin(v1,v2,v3)
> U2=Lin(v4,v5,v6)
> U1+U2=Lin(v1,v2,v3,v4,v5,v6)
>
> Also 0 die kleinste Dimension und 6 die größte Dimension
> in diesem Fall?
Hallo,
in dem obigen Beispiel kann man nicht viel sagen.
Wir wissen nicht, welche Dimension der zugrundeliegende Vektorraum hat, wir kennen auch nicht die Dimensionen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2.
[/mm]
Wissen kann man hier nur:
[mm] 0\le [/mm] dim [mm] U_1\le [/mm] 3
[mm] 0\le [/mm] Dim [mm] U_2\le [/mm] 3
[mm] 0\le [/mm] dim [mm] (U_1+U_2)\le [/mm] 6.
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> Im 4 dimensionalen Vektorraum dann:
> kleinste Dimension:0 größte: 8
Ich hab' jetzt schon wieder ein Problem: ich weiß überhaupt nicht, über welche Aufgabenstellung Du redest.
Über die der eingangs geposteten Aufgabe?
Und über welche Dimension redest Du? Über die von [mm] U_1+U_2?
[/mm]
(Bitte stelle Deine Überlegungen nachvollziehbar dar.)
Ist Dir klar, daß [mm] U_1+U_2 [/mm] ein Untervektorraum des zugrundeliegenden Vektorraumes ist?
Aus wievielen Elementen besteht eine jede Basis von [mm] U_1? [/mm] Aus wievielen die von [mm] U_2?
[/mm]
[mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sind die lineare Hülle ihrer Basisvektoren.
Was ist dann [mm] U_1+U_2 [/mm] lt. dem, was Du in der Übung notiert hast?
Weißt Du, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält?
Du kennst bereits eine Teilmenge, welche linear unabhängig ist.
Welche, und aus wievielen Elemente besteht sie?
Wie groß kann die Dimension eines Unterraumes höchstens sein?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Ich rede über die gestellte Aufgabe.
Die Dimension von U kann dann also sein
$ [mm] 0\le [/mm] $ dim $ [mm] U\le [/mm] $ 4
Die Dimension von V würde ich dann folgendes sagen:
$ [mm] 0\le [/mm] $ dim $ [mm] V\le [/mm] $ 4
Und dimension von U+V (was wieder ein Untervektorraum ist)
$ [mm] 0\le [/mm] $ dim $ [mm] (U+V)\le [/mm] $ 6.
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> Ich rede über die gestellte Aufgabe.
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> Die Dimension von U kann dann also sein
> [mm]0\le[/mm] dim [mm]U\le[/mm] 4
> Die Dimension von V würde ich dann folgendes sagen:
> [mm]0\le[/mm] dim [mm]V\le[/mm] 4
Hallo,
vielleicht liest Du nochmal den Aufgabentext, da steht nämlich, welche Dimension U und V haben...
> Und dimension von U+V (was wieder ein Untervektorraum
> ist)
Genau.
> [mm]0\le[/mm] dim [mm](U+V)\le[/mm] 6.
Die obere Grenze hast Du richtig erkannt.
Die untere wird klar, wenn Du den Aufgabentext erneut liest.
Gruß v. Angela
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Hallo,
eigentlich sollte ich schon fort sein, aber eines noch:
mach Dich nochmal schlau über Basis und Erzeugendensystem - wenn Du das kapiert hast, dann weißt Du, warum Deine Dimensionen von U und V falsch waren bzw. Du verstehst, warum die Dimensionen aus Deiner Übung so waren wie sie waren.
In der Übung war nämlich jeweils ein Erzeugendensystem gegeben - keine Basis!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Also die Dimension von U ist 4 und die Dimension von V ist ebenfalls 4. Somit sind die fest.
$ [mm] 4\le [/mm] $ dim $ [mm] (U+V)\le [/mm] $ 6.
Sollte obiges stimmen, dann muss ich also drei Fälle durchspielen.
Dann würde für den Schnitt
-2,-1, und 0 nach der Dimensionsformel herauskommen.
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> Also die Dimension von U ist 4 und die Dimension von V ist
> ebenfalls 4. Somit sind die fest.
>
> [mm]4\le[/mm] dim [mm](U+V)\le[/mm] 6.
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> Sollte obiges stimmen, dann muss ich also drei Fälle
> durchspielen.
Hallo,
ja, bis hierher stimmt's.
> Dann würde für den Schnitt
> -2,-1, und 0 nach der Dimensionsformel herauskommen.
>
Was hast Du denn da gerechnet?
Was sollte denn überhaupt eine Dimension von -2 bedeuten? Bist Du da nicht stutzig geworden?
Aber ich denke, daß nur ein kleines Versehen dahintersteckt.
Gruß v. Angela
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