Diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:01 Mo 08.08.2011 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Bestimme alle positiven,ganzzahligen Lösungen der Gleichung
[mm] $(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})(1-\frac{1}{z})-(1-\frac{1}{v})=\frac{2}{xyzv}$ [/mm] |
Mehr als dass man $v < x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] z$ voraussetzen kann, hab ich noch nicht herausgefunden...
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> Bestimme alle positiven,ganzzahligen Lösungen der
> Gleichung
>
> [mm](1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})(1-\frac{1}{z})-(1-\frac{1}{v})=\frac{2}{xyzv}[/mm]
> Mehr als dass man [mm]v < x \le y \le z[/mm] voraussetzen kann, hab
> ich noch nicht herausgefunden...
Hallo wauwau,
du solltest genauer sagen, was du mit "kann man voraussetzen"
meinst. Wahrscheinlich meinst du, dass man dann, wenn man die
Lösungen in geordneter Form kennt, auch weitere Lösungen durch
Permutationen (der Werte von x, y und z) erhalten kann.
Wie du allerdings auf v<x kommst, ist mir nicht klar.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mo 08.08.2011 | | Autor: | wauwau |
Hallo Al-Chwarizmi,
v<x folgt aus:
$0 < [mm] \frac{2}{xyzv} [/mm] = [mm] (1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})(1-\frac{1}{z})-(1-\frac{1}{v}) [/mm] < [mm] (1-\frac{1}{x})-(1-\frac{1}{v}) [/mm] $
Daher
v < x !
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moin,
Ich nehme mal an du hast selbst schon ein wenig rumprobiert und einige Lösungen gefunden.^^
Vielleicht hilft es dir die Gleichung in dieser Form zu betrachten:
2+(xy+(z-1)(x+y-1))v = xyz
Falls du noch keine Lösungen hast, hier die für
0 < v,x,y,z < 21:
[v,x,y,z] = [1,2,2,3],[2,3,5,18],[2,3,6,11],[2,4,4,10],[3,7,7,11],[4,9,11,14],[6,14,19,19]
(natürlich musst du x,y,z noch jeweils rumtauschen um alle zu erhalten)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mo 08.08.2011 | | Autor: | wauwau |
Deine Lösungen und auch die von mir durch Probieren gefundenen legen folg. vermutung nahe:
Entweder zwei der x,y,z sind gleich oder mindestens eins von den x,y,z ist zusammengesetzt (also es gibt keine Lösung in verschiedenen Primzahlen)?
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leider nicht...
[v,x,y,z] = [3,5,7,37] ist ebenfalls eine Lösung...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mi 07.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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