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| Aufgabe | Wieviele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung?
[mm] 5+x_1+x_3+x_5=62-x_2-x_4
[/mm]
mit der Bedingung [mm] x_i \ge [/mm] 2i für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 5 ? |
Hallo zusammen,
ich möchte die obige Aufgabe lösen, indem ich [mm] x_i [/mm] mit [mm] y_i [/mm] so substituiere, dass ich am Ende die Bedingung [mm] y_i \ge [/mm] 1 habe.
[mm] 5+x_1+x_3+x_5=62-x_2-x_4
[/mm]
[mm] \gdw x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=57
[/mm]
Mein erster Substitutionsansatz ist folgender:
Sei [mm] y_i=x_i-2i+1, [/mm] dann ist [mm] y_i \ge [/mm] 1
Dann ist [mm] x_i=y_i+2i-1.
[/mm]
Dann erhalte ich: [mm] y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+10i-5=57
[/mm]
[mm] \gdw y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=62-10i
[/mm]
Jetzt will ich benutzen, dass die Anzahl der ganzzahligen Lösung gleich [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] ist, dann steht bei mir:
[mm] \vektor{62-10i-1 \\ 5-1}=
[/mm]
[mm] \vektor{61-10i \\ 4}= \bruch{(61-10i)!}{4!(57-10i)!}
[/mm]
Jetzt habe ich ein Problem mit dem Ausrechnen, denn wie soll ich die Fakultäten ausrechnen, wenn die komplexe Zahl i da drinne steckt bzw. wo habe ich zuvor einen Denkfehler gemacht?
Mein zweiter Ansatz wäe folgende Substitution: [mm] (x_i)^2 \ge (2i)^2 \gdw (x_i)^2 \ge [/mm] -4 (Muss ich hier das Zeichen umdrehen?)
[mm] y_1=(x_i)^2+5 \ge [/mm] 1
Aber das haut wohl nicht so hin.
Oder steht mein i nicht für die komplexe Zahl i sondern einfach für einen Wert zwischen 1 und 5? Irgendwie bin ich bei der Aufgabe verwirrt, wäre cool, wenn ihr mich entwirren könntet :).
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 30.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Wieviele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung?
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> [mm]5+x_1+x_3+x_5=62-x_2-x_4[/mm]
>
> mit der Bedingung [mm]x_i \ge[/mm] 2i für 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] 5 ?
> Hallo zusammen,
>
> ich möchte die obige Aufgabe lösen, indem ich [mm]x_i[/mm] mit [mm]y_i[/mm]
> so substituiere, dass ich am Ende die Bedingung [mm]y_i \ge[/mm] 1
> habe.
>
> [mm]5+x_1+x_3+x_5=62-x_2-x_4[/mm]
> [mm]\gdw x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=57[/mm]
>
> Mein erster Substitutionsansatz ist folgender:
>
> Sei [mm]y_i=x_i-2i+1,[/mm] dann ist [mm]y_i \ge[/mm] 1
> Dann ist [mm]x_i=y_i+2i-1.[/mm]
>
> Dann erhalte ich: [mm]y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+10i-5=57[/mm]
> [mm]\gdw y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=62-10i[/mm]
>
> Jetzt will ich benutzen, dass die Anzahl der ganzzahligen
> Lösung gleich [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] ist, dann steht bei
> mir:
>
> [mm]\vektor{62-10i-1 \\ 5-1}=[/mm]
> [mm]\vektor{61-10i \\ 4}= \bruch{(61-10i)!}{4!(57-10i)!}[/mm]
>
> Jetzt habe ich ein Problem mit dem Ausrechnen, denn wie
> soll ich die Fakultäten ausrechnen, wenn die komplexe Zahl
> i da drinne steckt bzw. wo habe ich zuvor einen Denkfehler
> gemacht?
>
> Mein zweiter Ansatz wäe folgende Substitution: [mm](x_i)^2 \ge (2i)^2 \gdw (x_i)^2 \ge[/mm]
> -4 (Muss ich hier das Zeichen umdrehen?)
> [mm]y_1=(x_i)^2+5 \ge[/mm] 1
> Aber das haut wohl nicht so hin.
>
> Oder steht mein i nicht für die komplexe Zahl i sondern
> einfach für einen Wert zwischen 1 und 5? Irgendwie bin ich
> bei der Aufgabe verwirrt, wäre cool, wenn ihr mich
> entwirren könntet :).
Genau so.
[mm] x_i [/mm] steht für die Zahlen [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_5.
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] ist mindestens 2, ... und [mm] x_5 [/mm] ist mindestens 10.
Die Summe [mm] x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 [/mm] ist damit mindestens 30, und die fehlenden 27 kannst du beliebig auf die Summanden [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_5 [/mm] verteilen.
Die Aufgabe lautet also: Auf wie viele Arten kann ich 27 Bälle in 5 Töpfe verteilen?
Gruß Abakus
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> Beste Grüße
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Ich danke dir für deine Antwort abakus, das ganze macht es doch wesentlich einleuchtender :).
Gehe ich richtig in der Annahme, dass eine geordnete Partition vorliegt, da Bälle nicht unterscheidbar sind, da die Körbe unterscheidbar sind und getroffen werden müssen?
Also:
Anzahl= [mm] \vektor{n-1 \\ k-1}=\vektor{26 \\ 4}=\bruch{26!}{4!22!}=14.950
[/mm]
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Hallo Rubstudent88,
> Ich danke dir für deine Antwort abakus, das ganze macht es
> doch wesentlich einleuchtender :).
>
> Gehe ich richtig in der Annahme, dass eine geordnete
> Partition vorliegt, da Bälle nicht unterscheidbar sind, da
> die Körbe unterscheidbar sind und getroffen werden
> müssen?
Klingt erstmal gut.
> Also:
> Anzahl= [mm]\vektor{n-1 \\
k-1}=\vektor{26 \\
4}=\bruch{26!}{4!22!}=14.950[/mm]
Das stimmt aber nicht. Die Formel lautet hier doch [mm] \vektor{n-k+1\\k-1}=\vektor{31\\4}=31465.
[/mm]
Grüße
reverend
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