Diophantische Gleichung 4.Grad < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Do 19.05.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | [mm] X^4+Y^4+Z^4+6X^2Y^2-2X^2Z^2-2Y^2Z^2=T^2 [/mm] |
Mich würde es interessieren, Aussagen ob deren Lösungsmenge zu treffen.
Ich denke, dass es für die obige Gleichung keine ganzahligen Lösungen gibt, kann mich aber auch täuschen. Denkt ihr das es eine Mögl. gibt, unter Hinzunahme anderer Aussagen über Dio. Gl., etwas über die Lösung der obigen Gleichung zu sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Fr 20.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]X^4+Y^4+Z^4+6X^2Y^2-2X^2Z^2-2Y^2Z^2=T^2[/mm]
> Mich würde es interessieren, Aussagen ob deren
> Lösungsmenge zu treffen.
>
> Ich denke, dass es für die obige Gleichung keine
> ganzahligen Lösungen gibt, kann mich aber auch täuschen.
Naja, $X = Y = Z = T = 0$ ist eine ganzzahlige Loesung 
Du meinst vermutlich nicht-triviale ganzzahlige Loesungen.
Aber eine andere Frage: warum stellst du die Frage eigentlich im Analysis-Forum? (Ich hab sie mal zur Zahlentheorie verschoben...)
LG Felix
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> [mm]X^4+Y^4+Z^4+6X^2Y^2-2X^2Z^2-2Y^2Z^2=T^2[/mm]
> Mich würde es interessieren, Aussagen ob deren
> Lösungsmenge zu treffen.
>
> Ich denke, dass es für die obige Gleichung keine
> ganzahligen Lösungen gibt, kann mich aber auch täuschen.
> Denkt ihr das es eine Mögl. gibt, unter Hinzunahme anderer
> Aussagen über Dio. Gl., etwas über die Lösung der obigen
> Gleichung zu sagen?
Hallo kalifat,
die Gleichung hat sehr wohl ganzzahlige Lösungen,
und zwar garantiert unendlich viele.
Zunächst kann man sie umformen zu
$\ [mm] (X^2+Y^2-Z^2)^2+(2\,X\,Y)^2\ [/mm] =\ [mm] T^2$
[/mm]
LG Al-Chw.
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> > [mm]X^4+Y^4+Z^4+6\,X^2Y^2-2\,X^2Z^2-2\,Y^2Z^2=T^2[/mm]
> Hallo kalifat,
>
> die Gleichung hat sehr wohl ganzzahlige Lösungen,
> und zwar garantiert unendlich viele.
> Zunächst kann man sie umformen zu
>
> [mm]\left(X^2+Y^2-Z^2\right)^2+\left(2\,X\,Y\right)^2\ =\ T^2[/mm]
Immer dann, wenn $\ (X,Y,Z)$ ein pythagoräisches Tripel
mit [mm] X^2+Y^2=Z^2 [/mm] , gewinnt man daraus ein Lösungs-
quadrupel $\ (X,Y,Z,T)$ für die obige Gleichung, wenn man
einfach noch die vierte Zahl $\ [mm] T:=2\,X\,Y$ [/mm] daran hängt.
Zur Erzeugung aller möglichen pythagoräischen Tripel
gibt es einen ![[]](/images/popup.gif) bekannten Algorithmus .
Über die auf diese Weise erzeugbaren Lösungen der
obigen Gleichung müssen wir uns also gar nicht
weiter unterhalten. Es bleibt die Frage nach allfälligen
weiteren Lösungen, bei denen also die Gleichung
[mm] X^2+Y^2=Z^2 [/mm] nicht erfüllt ist.
In diesem Fall muss aber $\ [mm] (\,X^2+Y^2-Z^2\,,\,2\,X\,Y\,,\,T\,)$ [/mm] ein
pythagoräisches Tripel sein. Es wäre also zu
untersuchen, welche weiteren Schlüsse man
aus dieser Bedingung ziehen kann.
LG Al-Chw.
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Hallo kalifat,
hier ein paar der bereits als existierend angemerkten Lösungen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit Al-Chwarizmis Tipp findest Du leicht weitere.
Im übrigen ist Deine Gleichung symmetrisch in X,Y. Diese kannst Du oben also auch vertauschen.
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 20.05.2011 | | Autor: | kalifat |
Vielen Dank für eure Antworten, ihr konntet mir sehr weiterhelfen.
@reverend, welches Programm verwendest du, z.B für das Berechnen von
[mm] (2XZ)^2+(Z^2-Y^2-X^2)^2=T^2 [/mm] ? Händisch ist dieser Prozess nämlich relativ langatmig.
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Hallo kalifat,
mir sah die Gleichung verdächtig lösbar aus. Deswegen habe ich mir gar keine große Mühe gemacht, sondern einfach eine Excel-Tabelle angelegt, die für ein festes x und aufsteigende y (Spalten) bzw. aufsteigende z (Zeilen) prüft, ob t ganzzahlig ist.
Die Tabelle war sehr klein (nur 30*30), ich hätte sie natürlich mit wenigen einfachen Kopiervorgängen vergrößern können.
Als Parameter habe ich absichtlich nicht z gewählt, weil die Gleichung in x,y symmetrisch war - die Tabelle wäre dann symmetrisch zur Hauptdiagonalen gewesen. Mit festem x oder festem y waren daher fast doppelt soviel Kombinationen pro Parameterwert abzuprüfen.
Tabellenkalkulationen helfen oft, einen ersten Überblick zu gewinnen. Man spart trotzdem viel Zeit, wenn man erst einmal ein paar Überlegungen zu der Gleichung anstellt, vor allem daraufhin, welche Suchstrategie möglichst wenig Ausschuss produziert. Selbst bei deutlich schwierigeren Problemen kommt man dann in endlicher Zeit noch zu einer Aussage.
Bei noch mehr Variablen kommt man dann aber meist doch nicht umhin, ein entsprechendes Programm zu schreiben.
Grüße
reverend
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