Diophantische Gleichung lösen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Do 26.04.2007 | | Autor: | behdahh |
| Aufgabe | Man finde alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung:
x*y=12 |
Hallo Forum!
Bei obiger Gleichung handelt es sich offensichtlich um eine Diphantische, da nur ganzzahlige Lösungen gesucht sind (es gäbe ja sonst unendlich viele Lösungen). Mir ist klar, daß sie sich einfach mittels Probiermethode oder Moduloberechnung lösen läßt. Meine Frage lautet jedoch: Gibt es ein allegemeines mathematisches Verfahren mit dem ich alle möglichen ganzzahligen Lösungen von derartigen Gleichungen ermittlen kann?
Für den Fall daß ich voll auf der Leitung stehe entschuldige ich mich im Voraus 
lg,
Behdahh
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 26.04.2007 | | Autor: | komduck |
Nein es gibt kein Verfahren um solche Gleichungen ganz allgemein zu lösen.
Schon die Frage ob es eine Lösung gibt ist nicht lösbar.
Es ist das 10. Hilbertsche Problem:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Liste_von_23_mathematischen_Problemen
In diesem speziellen Fall müßen sich die Teiler von 12 auf x und y aufteilen.
Also man berechnet alle Teiler von 12 = {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12}
x muß einer dieser Zahlen sein. y ist dann 12/x.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Do 26.04.2007 | | Autor: | behdahh |
Danke für die Atembraubend schnelle Antwort. Ich dachte mir schon, daß Hilbert hier Probleme macht.
Meine Hoffnung lag darin, daß die klassische lineare Diophantische Gleichung die Form ax+by=c hat - und somit unendlich viele ganzzahlige Lösungen (die aber nur von einem Parameter p abhängen).
Da ich kein Mathematker bin, ist die Beweisführung von Matijassewitsch für mich zu wenig verständlich um festzustellen ob der Beweis auch für diesen Spezialfall (also das Produkt zweier Ganzzahlen) gilt, bei dem die Lösungsmenge doch sehr eingeschränkt zu sein scheint.
Die Frage ob es eine ganzzahlige Lösung gibt, stellt sich zum Beispiel hier gar nicht, da immer mindestens eine Lösung existiert (hier: x=1 y=12 oder allgemein für x*y=c : x=1, y=c). Der Beweis von Matijassewitsch scheint also hier nicht zugelten, da die Anzahl ganzzahliger Lösungen immer >0 ist.
Vielleicht kann jemand beantworten, ob die Beweisführung auch diesen Sonderfall abdeckt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Fr 27.04.2007 | | Autor: | komduck |
Sowohl in der Alltagslogik also auch in der formalen Logik,
klassische oder intuitionistische wird kein inhaltlicher
Bezug zwischen den beiden Aussagen gefordert.
Ich würde sagen besteht ein socher Bezug nicht dann
ist die Aussage wenig sinnvoll.
Zum Beispiel eine Aussage wie:
"Paris liegt in Frankreich $ [mm] \to [/mm] $ London liegt in England"
Wer soll so eine Aussage machen außer dem, der sich Gedanken
über solche Ausagen macht?
Sinnvoll erscheint mir diese:
Wenn der Backofen zu kalt ist dann schmecken die Brötchen nicht.
Gemeint sind natürlich die Brötchen die man in dem
Backofen backen will.
Aber warum sollte man nur die sinnvollen Aussagen erlauben?
Es erscheint mir eine schwierige Frage zu definieren
welche Aussagen sinnvoll sind.
komduck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Fr 27.04.2007 | | Autor: | behdahh |
Hallo Komduck!
Danke für Deine Antwort. Ich bin zwar etwas verwirrt, da ich keinen Bezug zur Fragestellung sehe, gehe aber mal davon aus daß das bedeutet, daß meine Fragestellung der Aussage "Paris liegt in Frankreich London liegt in England" entspricht und somit eigentlich logisch unzusammenhängend und daher auch nicht lösbar ist.
Ich habe beschlossen einen ähnlichen Ansatz wie bei einer linearen ganzzahligen Optimierung mittels Simplex-Verfahren zu wählen um zum Ergebnis zu kommen - da die Zahlen um die es geht enorm groß sind, wäre die "Probiermethode" zu Aufwändig.
lg und danke nochmal,
Behdahh
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Fr 27.04.2007 | | Autor: | komduck |
Hallo!
Deine Verwirrung ist berechtigt!
Der Artikel gehört hier auch ganr nicht hin. Er gehört hier hin:
https://matheraum.de/read?t=254210
Da hab ich irgend etwas falsch gemacht...
Ich komm noch mal auf dein Problem zurück:
Matijassewitsch hat nicht bewiesen, dass es für den allgemeinen Fall
keine Lösung für die Diophantische Gleichung gibt, sondern
er hat gezeigt das man im allgemeinen Fall nicht herausfinden kann
ob es eine Lösung gibt. Oder etwas genauer es gibt keinen Algorithmus
der diese Frage löst.
Aber spezielle Diophantische Gleichungen kann man schon lösen.
Deine ist ein Beispiel aber auch:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] z^2 [/mm] das sind dann die Pythagoreischen Tripel
Für
[mm] x^{n} [/mm] + [mm] y^{n} [/mm] = [mm] z^{n} [/mm] wurde erst vor kurzem die Antwort gegeben.
Es hat fast 400 Jahre gedauert und viele Mathematiker haben auf
dem Weg diese Gleichung zu lösen, eine Unmenge von Dingen
über Zahlen heraus gefunden.
komduck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Di 22.05.2007 | | Autor: | behdahh |
sorry für die Späte Antwort - war auf Urlaub. Ich wollte mich nur für Deine (jetzt stimmigere ) Antwort bedanken - ich glaub' jetzt hab' ich's kapiert.
lg,
Behdahh
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