Direkte Summe Eigenräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Do 19.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Seien [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{k} [/mm] Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_{1}, [/mm] ...., [mm] \lambda_{k} [/mm] von f [mm] \in [/mm] End(V). Beweisen Sie, dass dann gilt: Eig(f, [mm] \lambda_{1}) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_{k}). [/mm] Insbesondere gilt Eig(f, [mm] \lambda_{i}) \cap [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_{j}) [/mm] = [mm] \{0 \} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j. |
Guten Tag,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe eure Hilfe. Habe folgendes versucht:
Sei v [mm] \in [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_{i}) \cap [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_{j}) \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] \lambda_{i}v [/mm] - [mm] \lambda_{j}v \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] v(\lambda_{i}-\lambda_{j}).
[/mm]
Da aber [mm] \lambda_{i} \not= \lambda_{j} \Rightarrow [/mm] v = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_{i}) \cap [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_{j}) [/mm] = [mm] \{ 0 \}. [/mm] Ist das so korrekt?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{k}[/mm] Eigenvektoren zu paarweise
> verschiedenen Eigenwerten [mm]\lambda_{1},[/mm] ...., [mm]\lambda_{k}[/mm]
> von f [mm]\in[/mm] End(V). Beweisen Sie, dass dann gilt: Eig(f,
> [mm]\lambda_{1}) \oplus[/mm] ... [mm]\oplus[/mm] Eig(f, [mm]\lambda_{k}).[/mm]
> Insbesondere gilt Eig(f, [mm]\lambda_{i}) \cap[/mm] Eig(f,
> [mm]\lambda_{j})[/mm] = [mm]\{0 \}[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j.
> Guten Tag,
>
> ich bräuchte bei dieser Aufgabe eure Hilfe. Habe folgendes
> versucht:
> Sei v [mm]\in[/mm] Eig(f, [mm]\lambda_{i}) \cap[/mm] Eig(f, [mm]\lambda_{j}) \Rightarrow[/mm]
da fehlt noch: [mm] $\lambda_jv=f(v)= \lambda_iv$
[/mm]
> 0 = [mm]\lambda_{i}v[/mm] - [mm]\lambda_{j}v \Rightarrow[/mm] 0 =
> [mm]v(\lambda_{i}-\lambda_{j}).[/mm]
> Da aber [mm]\lambda_{i} \not= \lambda_{j} \Rightarrow[/mm] v = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Eig(f, [mm]\lambda_{i}) \cap[/mm] Eig(f, [mm]\lambda_{j})[/mm] =
> [mm]\{ 0 \}.[/mm] Ist das so korrekt?
Ja, wenn Du obiges noch einfügst.
FRED
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> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 19.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar. Wäre denn damit bereits alles gezeigt? Eigentlich ja schon, oder?
Vielen Dank für deine Hilfe.
LG Loriot95
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> Alles klar. Wäre denn damit bereits alles gezeigt?
> Eigentlich ja schon, oder?
Hallo,
daß Du nachfragst, zeigt, daß Du gewisse Restzweifel hast.
Schade, daß Du nicht ausformulierst, wieso Du Dir nicht sicher bist, ob bereits alles gezeigt ist.
Es reicht nicht, zu zeigen, daß die Räume paarweise geschnitten jeweils nur den Nullvektor enthalten.
Beispiel: [mm] U_1:=<\vektor{1\\0}>, U_2:=<\vektor{0\\1}>, U_3:=<\vektor{1\\1}>.
[/mm]
Die paarweisen Schnitte enthalten hier nur den Nullvektor, die Summe ist aber nicht direkt.
Gruß v. Angela
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