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Direkte Summe/Untermoduln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Sa 02.06.2012
Autor: it123

Aufgabe
Es sei M ein Modul über einem Integritätsbereich R. Dann ist m genau dann direkte Summe zweier Untermoduln [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2, [/mm] wenn M isomorph zum R-Modul [mm] N_1xN_2 [/mm] ist.

Ich wollte es folgendermaßen beweisen:
i)M ist direkte Summe zweier Untermoduln [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm]
ii) x [mm] \in [/mm] m besitzt eine eindeutige Darstellung [mm] x=n_1+n_2 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M und [mm] n_1 \in N_1,n_2 \in N_2 [/mm]
iii)M ist isomorph zum R-Modul [mm] N_1xN_2 [/mm]

Interessieren würden mich meine lösungen zu ii)=>iii) Jedes x [mm] \in [/mm] M hat also eine eindeutige Darstellung [mm] n_1+n_2=x. [/mm] Also existiert eine Abbildung [mm] f:N_1xN_2->M [/mm] mit [mm] f((n_1,n_2)):=n_1+n_2=x. [/mm] Da x [mm] \in [/mm] M eindeutig ist, folgt die Injektivität. Da jedes x [mm] \in [/mm] M darstellbar durch [mm] n_1+n_2 [/mm] ist,  folgt die Surjektivität. Linearität der Abbildung f ist dann auch leicht nachzuweisen.

iii)=>i)Hier habe ich Probleme bzw. keinen rechten Ansatz: Es gibt also eine bijektive, lineare Abbildung (R-Modul Isomorphismus) [mm] f:M->N_1xN_2={(n_1,n_2)|n_1 \in N_1, n_2 \in N_2}. [/mm] Also: [mm] f(m)=(n_1,n_2)=(n_1,0)+(0,n_2). [/mm]
Da komme ich aber nicht weiter.


        
Bezug
Direkte Summe/Untermoduln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Sa 02.06.2012
Autor: tobit09

Hallo it123,


> Interessieren würden mich meine lösungen zu ii)=>iii)
> Jedes x [mm]\in[/mm] M hat also eine eindeutige Darstellung
> [mm]n_1+n_2=x.[/mm] Also existiert eine Abbildung [mm]f:N_1xN_2->M[/mm] mit
> [mm]f((n_1,n_2)):=n_1+n_2=x.[/mm]

Die Abbildung

     [mm] $f\colon N_1\times N_2\to M,\quad f((n_1,n_2))=n_1+n_2$ [/mm]

existiert völlig unabhängig von der Voraussetzung ii).

> Da x [mm]\in[/mm] M eindeutig ist,

Da [mm] $n_1$ [/mm] und [mm] $n_2$ [/mm] durch [mm] $n_1+n_2$ [/mm] eindeutig bestimmt sind,

> folgt die Injektivität. Da jedes x [mm]\in[/mm] M darstellbar durch
> [mm]n_1+n_2[/mm] ist,  folgt die Surjektivität. Linearität der
> Abbildung f ist dann auch leicht nachzuweisen.

O.K.!


> iii)=>i)Hier habe ich Probleme bzw. keinen rechten Ansatz:
> Es gibt also eine bijektive, lineare Abbildung (R-Modul
> Isomorphismus) [mm]f:M->N_1xN_2={(n_1,n_2)|n_1 \in N_1, n_2 \in N_2}.[/mm]
> Also: [mm]f(m)=(n_1,n_2)=(n_1,0)+(0,n_2).[/mm]
> Da komme ich aber nicht weiter.

Das ist auch gut so. Die Richtung [mm] iii)$\Rightarrow$ [/mm] i) stimmt nämlich nicht. Die Aufgabenstellung ist also so falsch. Richtig würde sie, wenn man das

     "..., wenn M isomorph zum R-Modul [mm] $N_1\times N_2$ [/mm] ist."

ersetzen würde durch

     "..., wenn [mm] $f\colon N_1\times N_2\to M,\quad f((n_1,n_2))=n_1+n_2$ [/mm] ein Isomorphismus ist".


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Direkte Summe/Untermoduln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 So 03.06.2012
Autor: it123

Ich frage sicherheitshalber noch einmal nach. Du meinst also, dass man die Rückrichtung der Aufgabenstellung nicht beweisen kann?

Mit anderen Worten: Wenn es einen beliebigen R-Modul-Isomorphismus zwischen M und [mm] N_1xN_2 [/mm] gibt, dann folgt daraus nicht gleich, dass M direkte Summe zweier Untermoduln [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] ist?

Bezug
                        
Bezug
Direkte Summe/Untermoduln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 So 03.06.2012
Autor: tobit09


> Ich frage sicherheitshalber noch einmal nach. Du meinst
> also, dass man die Rückrichtung der Aufgabenstellung nicht
> beweisen kann?

Genau. Wenn [mm] $N_1,N_2\subseteq [/mm] M$ Untermoduln sind und $M$ isomorph zu [mm] $N_1\times N_2$ [/mm] ist, muss nicht $M$ die direkte Summe von [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] sein.


> Mit anderen Worten: Wenn es einen beliebigen
> R-Modul-Isomorphismus zwischen M und [mm]N_1xN_2[/mm] gibt, dann
> folgt daraus nicht gleich, dass M direkte Summe zweier
> Untermoduln [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] ist?

M ist IMMER die direkte Summe IRGENDWELCHER Untermoduln [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$: [/mm] Man nehme etwa [mm] $N_1=\{0\}$ [/mm] und [mm] $N_2=M$. [/mm]

Nur muss, wenn M isomorph zu [mm] $N_1\times N_2$ [/mm] ist für gewisse Untermoduln [mm] $N_1,N_2\subseteq [/mm] M$, der Modul $M$ nicht die direkte Summe DIESER Untermoduln [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] sein.

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