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| Aufgabe | | Sei V die direkte Summe der Unterräume X,Y. V ist K-VR und W auch. Zu zeigen ist, dass für Isomorphismus F: V to W gilt: W = F(X) [mm] \oplus [/mm] F(Y). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da isomorph bedeutet: injektiv,surjektiv,linear bin ich schon soweit, dass ich wegen Surjektivität sagen kann: F(V)=W also F(X [mm] \oplus [/mm] Y) = W und da lineare Abb.: F(X) [mm] \oplus [/mm] F(Y) = W.....das ist ja eigentlich schon das, was wir zeigen sollen...aber ich muss bestimmt noch zeigen, dass ich das auch als direkte Summe schreiben kann,oder?
also dass jedes w [mm] \in [/mm] W eindeutig als x [mm] \in [/mm] F(X) + y [mm] \in [/mm] F(Y) darstellen lässt und diese x,y ungleich Nullvektor linear unabhängig sind....??
Was haltet ihr von dem Plan?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Für die direkte Summe von F(X) und F(Y) nimm Dir ein
x [mm] \in [/mm] F(X) [mm] \cap [/mm] F(Y) ,
also ex. u [mm] \in [/mm] X und v [mm] \in [/mm] Y mit F(u) = x = F(v)
F ist injektiv, also ist u=v. somit : u [mm] \in [/mm] X [mm] \cap [/mm] Y = {0}
Damit ist x = 0
FRED
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Das klingt gut, aber inwieweit habe ich dann Eindeutigkeit oder lineare Unabhängigkeit gezeigt?
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> Das klingt gut, aber inwieweit habe ich dann Eindeutigkeit
> oder lineare Unabhängigkeit gezeigt?
Hallo,
die Eindeutigkeit kannst Du l daraus, daß die 0 das einzige Element ist, welches sowohl in F(X) als auch in F(Y) ist, leicht gewinnen.
Nimm an, es wäre x [mm] \in [/mm] W mit [mm] x=F(x_1)+F(y_1) [/mm] und [mm] x=F(x_2)+F(y_2), [/mm] und zeige, daß die beiden Darstellungen gleich sind.
Und? Klappt's? Wenn nicht: wie weit kommst Du, wo scheiterst Du?
Gruß v. Angela
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ich würde schreiben: [mm] \Rightarrow [/mm] F(x1)-F(x2)+F(y1)-F(y2) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] F(x1)-F(x2)=0 also F(x1)=F(x2)=0 sowie F(y1)-F(y2)=0 also F(y1)=F(y2)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Eindeutigkeit....??aber hier beachte ich doch nur,dass 0 im Bildraum liegt..wo beachte ich denn,dass 0 auch in Urbildraum(als einziges Element)?
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> ich würde schreiben: [mm]\Rightarrow[/mm] F(x1)-F(x2)+F(y1)-F(y2) = 0
Hallo,
[mm] \gdw \underbrace{F(x1)-F(x2)}_{\in F(X)}=\underbrace{F(y1)-F(y2)}_{\in F(Y)} [/mm]
Der linke Vektor ist in F(X), und der rechte ist in F(Y).
Zuvor hatte fred gezeigt, daß der einzige Vektor, der in beiden Räumen liegt, der Nullvektor ist.
Also sind die rechte und linke Seite =0, dh. [mm] F(x_1)=F(x_2) [/mm] und [mm] F(y_1)=F(y_2), [/mm] womit Du die Eindeutigkeit der Darstellung gezeigt hast, denn die beiden Darstellungen, die wir für x angenommen hatten, haben sich nun als ein- und dieselbe entpuppt.
Gruß v. Angela
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Danke dir.
damit habe ich doch beide bedingungen für [mm] \oplus [/mm] im Bildbereich bewiesen.Muss ich nun trotzdem noch zeigen, dass jeder Vektor des Bildbereichs(ohne 0) linear unabhängig ist?wenn ja,warum?
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> Danke dir.
> damit habe ich doch beide bedingungen für [mm]\oplus[/mm] im
> Bildbereich bewiesen.Muss ich nun trotzdem noch zeigen,
> dass jeder Vektor des Bildbereichs(ohne 0) linear
> unabhängig ist?wenn ja,warum?
Hm. ich weiß nicht, was Dir gerade in Sachen Unabhängigkeit durch den Kopf spukt...
Um zu sehen, ob Du nun "direkte Summe" gezeigt hast, mußt Du die Def. abklopfen.
Sag doch einfach mal, wie Ihr direkte Summe in der Vorlesung definiert habt, und dann gucken wir, ob alles beisammen ist.
Bzw.: Du guckst zuerst und sagst's, und danach guckt jemand, ob Du richtig geguckt hast.
Gruß v. Angela
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Also 1. VR =UR1+UR2+....+URk
2. irgendwelche Vektoren müssen l.u. sein, aber da versteh ich die notation
nicht ganz...
es muss doch eine allgemeingültige definition von direkten summe geben?!
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> Also 1. VR =UR1+UR2+....+URk
> 2. irgendwelche Vektoren müssen l.u. sein, aber da
> versteh ich die notation
> nicht ganz...
Hallo,
ich bat Dich um die Definition der direkten Summe aus Deiner Vorlesung.
Das da oben ist keine, denn "irgendwelche Vektoren müssen linear unabhängig sein" steht da bestimmt nicht.
Ist es denn so schlimm, mal aufzuschreiben, was da steht? Wenn man es nicht sieht, kann man es schlecht klären.
> es muss doch eine allgemeingültige definition von direkten
> summe geben?!
Es gibt mehrere äquivalente Definitionen, und ich interessiere mich dafür, welche Ihr verwendet, denn anscheinend hast Du dazu ja eine Frage, die aber nur zu beantworten ist, wenn man weiß, wie Eure Definition (genau!) lautet.
Gruß v. Angela
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Ich würde gerne genau hinschreiben,was dort steht kann nur noch nicht gut genug mit diesem Formeleditor umgehen-die def hatte sehr viele indezes:-(
Habe aber nochmal bei meiner Tutorin nachgefragt und die meinte,ich solle die LU jedes Elements der Bildmenge [mm] \setminus [/mm] Nullpolynom nachweisen...
mit einem LGS kann ich hier nicht arbeiten..also was nun?
ps: werde mich bald intensiv mit diesem Formeleditor beschäftigen!
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> Habe aber nochmal bei meiner Tutorin nachgefragt und die
> meinte,ich solle die LU jedes Elements der Bildmenge
> [mm]\setminus[/mm] Nullpolynom nachweisen...
Hallo,
Polynom???
Nur um es nochmal zu betonen: die Aufgabe war mit freds Post eigentlich fertig.
Daß der Thread so lang ist, liegt nicht daran, daß die Aufgabe so schwierig ist, sondern daran, daß die Definition der direkten Summe, mit der Du arbeiten möchtest/mußt nicht herauszubekommen war.
Zur direkten Summe:
Wenn wir einen VR V haben mit Unterräumen U und W, dann heißt V die direkte Summe von U und W, wenn folgendes gilt:
i) Jedes [mm] v\in [/mm] V kann man eindeutig schreiben als v=u+w mit [mm] v\in [/mm] V und [mm] w\in [/mm] W.
Äquivalent dazu ist dies:
ii) V=U+W und [mm] U\cap W=\{0\},
[/mm]
und äquivalent ist, sofern V endlichfimensional ist, auch das:
iii) Wenn [mm] (u_1,...u_k) [/mm] eine Basis von U ist und [mm] (w_1,...,w_l) [/mm] eine Basis von W, dann ist [mm] (u_1,...u_k,w_1,...,w_l) [/mm] eine Basis von V.
Fred hatte Dir für die Formulierung ii) vorgerechnet, daß der Schnitt leer ist.
Nachdenken müßte man noch darüber, warum man jedes [mm] w\in [/mm] W schreiben kann als w=F(x)+F(y).
Hier ist der Isomorphismus behilflich.
Anschließend hatten wir ii) besprochen, nämlich (unter Zuhilfenahme von Freds Ergebnis) gezeigt, daß die Darstellung w=F(x)+F(y) eindeutig ist.
Noch nicht ausdrücklich gezeigt haben wir die Existenz dieser Darstellung, warum man also jedes [mm] w\in [/mm] W schreiben kann als w=F(x)+F(y).
Hier ist der Isomorphismus behilflich.
iii) kommt hier nicht infrage, denn in der Aufgabe steht nichts von endlichdimensional.
Am besten schaust Du jetzt mal nach, ob vielleicht i) ganz nett zu den in der VL Notierten paßt - Dein anfängliches Insistieren auf "eindeutig" weist daraufhin.
Falls da viele Indizes und auch Summenzeichen waren, wird es daran liegen, daß die direkte Summe von vielen Unterräumen betrachte wurde. Wir haben ja nur zwei.
Und wenn es so ist, daß es paßt, dann schreib den Beweis jetzt mal mit allem Drum und Dran auf, und überleg Dir auch noch die Sache mit der Darstellbarkeit.
Danach bist Du dann schlauer.
Gruß v, Angela
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