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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:10 Di 28.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
Habe in einem Buch folgenden Satz gefunden [mm] (L(s,\chi):=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\chi(n)}{n^s} [/mm] ist die Dirichlet L-Reihe,
Euler Produktdarstellung für Re s >1: [mm] L(s,\chi)=\produkt_{p\in\IP}(1-\chi(p)*p^{-s})^{-1})
[/mm]
__________________________________________
Ist [mm] \chi\not= \chi_0 [/mm] ein Dirichletscher Charakter mod k, so gilt für alle [mm] t\in\IR
[/mm]
[mm] L(1+it,\chi)\not=0
[/mm]
und für den Hauptcharakter [mm] \chi_0 [/mm] mod k und für alle [mm] t\in\IR,t\not=0 [/mm] gilt:
[mm] L(1+it,\chi_0)\not=0.
[/mm]
_________________________________________
Nun soll daraus folgen, dass für ggT(k,l)=1 gilt,
dass [mm] \phi_l(s)-\bruch{1}{s-1} [/mm] für Re [mm] s\ge1 [/mm] holomorph erklärbar ist,
wobei [mm] \phi_l(s):=\varphi(k)*\summe_{p\equiv l mod k}\bruch{log p}{p^s}
[/mm]
ist
Ist das klar ? Oder wie kommt man wohl darauf?
VG
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Mi 29.07.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Christian,
> Habe in einem Buch folgenden Satz gefunden
> [mm](L(s,\chi):=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\chi(n)}{n^s}[/mm] ist
> die Dirichlet L-Reihe,
> Euler Produktdarstellung für Re s >1:
> [mm]L(s,\chi)=\produkt_{p\in\IP}(1-\chi(p)*p^{-s})^{-1})[/mm]
> __________________________________________
>
> Ist [mm]\chi\not= \chi_0[/mm] ein Dirichletscher Charakter mod k, so
> gilt für alle [mm]t\in\IR[/mm]
>
> [mm]L(1+it,\chi)\not=0[/mm]
>
> und für den Hauptcharakter [mm]\chi_0[/mm] mod k und für alle
> [mm]t\in\IR,t\not=0[/mm] gilt:
>
> [mm]L(1+it,\chi_0)\not=0.[/mm]
> _________________________________________
>
> Nun soll daraus folgen, dass für ggT(k,l)=1 gilt,
> dass [mm]\phi_l(s)-\bruch{1}{s-1}[/mm] für Re [mm]s\ge1[/mm] holomorph
> erklärbar ist,
>
> wobei [mm]\phi_l(s):=\varphi(k)*\summe_{p\equiv l mod k}\bruch{log p}{p^s}[/mm]
> ist
Ich vermute, [mm] $\varphi$ [/mm] ist die Eulersche [mm] $\varphi$-Funktion? [/mm] Und die Summe geht ueber alle Primzahlen $p$ mit $p [mm] \equiv [/mm] l [mm] \pmod{k}$?
[/mm]
> Ist das klar ? Oder wie kommt man wohl darauf?
Ich finde es ueberhaupt nicht klar. Ich weiss nichtmals, was diese Funktion mit den obigen zu tun hat.
In welchem Buch steht das denn und wo dort?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
also ein Buch ist das nicht, ist ne Veröffentlichung von Jürgen Elstrodt:
"Ein einfacher Beweis des Primzahlsatzes für arithmetrische Progressionen"
Für den Beweis des Satz von Dirichlet / PSZ für arithm Prog. braucht man halt diesen Satz, den ich allerdings bisher in keinem anderen Buch gefunden habe.
Und irgendwie fällt dieser Satz dann halt vom Himmel : ).
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mi 29.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo,
das Paper heisst uebrigens "A quick proof of the prime number theorem for arithmetic progressions" (Charlemagne and his heritage. 1200 years of civilization and science in Europe, Vol. 2 (Aachen, 1995), 521--530, Brepols, Turnhout, 1998), falls es jemanden interessiert.
> > Habe in einem Buch folgenden Satz gefunden
> > [mm](L(s,\chi):=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\chi(n)}{n^s}[/mm] ist
> > die Dirichlet L-Reihe,
> > Euler Produktdarstellung für Re s >1:
> > [mm]L(s,\chi)=\produkt_{p\in\IP}(1-\chi(p)*p^{-s})^{-1})[/mm]
In dem ![[]](/images/popup.gif) Abstract bei MathSciNet findet sich der Hinweis, dass man [mm] $-\frac{L'(s, \chi)}{L(s, \chi)}$ [/mm] betrachten soll. Wenn man hier die Produktdarstellung einstetzt und die Eigenschaften der logarithmischen Ableitung benutzt, sieht man, dass dies gleich [mm] $\sum_{p\in\IP} \frac{\chi(p) p^{-s} \log p}{1 - \chi(p) p^{-s}}$ [/mm] ist.
Das ist noch nicht ganz gleich
> > [mm]\phi_l(s):=\varphi(k)*\summe_{p\equiv l mod k}\bruch{log p}{p^s}[/mm]
aber es hat schonmal etwas mehr Aehnlichkeiten.
Keine Ahnung ob das irgendwie weiterhilft, aber ich dachte ich erwaehn das mal 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mi 29.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich hab noch das hier gefunden.
Demnach erfuellt die Funktion $f(n) := [mm] \sum_{\chi \in X(k)} \frac{\chi(l)^{-1}}{\varphi(k)} \chi(n)$, [/mm] dass $f(n) = 1$ ist fuer $n [mm] \equiv [/mm] l [mm] \pmod{k}$ [/mm] und $f(n) = 0$ ist sonst. (Hier ist $X(k)$ die Menge aller Charaktere modulo $k$.)
Vielleicht kann man das (oder etwas aehnliches) nutzen, um die [mm]\sum_{p\in\IP} \frac{\chi(p) p^{-s} \log p}{1 - \chi(p) p^{-s}}[/mm] so linear zu kombinieren, dass nur noch [mm] $\sum_{p\in\IP \atop p \equiv l \pmod{k}} p^{-s} \log [/mm] p$ uebrigbleibt?
Hab das Original-Paper leider nicht da...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 30.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
danke für die Hinweise !
Ich werde mir das mal genauer anschauen.
Wie bist du eigentlich an http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1672439 gekommen?
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Do 30.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hi Christian,
> danke für die Hinweise !
> Ich werde mir das mal genauer anschauen.
viel Erfolg! :) Ich bin an einer "Aufloesung" uebrigens auch interessiert.
> Wie bist du eigentlich an
> http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1672439 gekommen?
Hab halt mit MathSciNet nach dem Paper gesucht, um zu schaun ob es dort einen Link zu einer Online-Version gibt. Gab's aber leider nicht...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Do 30.07.2009 | | Autor: | Fry |
Werde mal schauen, ob ich das Paper online bekomme
Übrigens, um deine Frage zu beantworten: Ja, die [mm] \varphi [/mm] soll die Eulersche Phi-Fkt sein und mit p sind Primzahlen gemein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 04.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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