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| Aufgabe | Lösen Sie das Dirichlet-Problem
[mm] \Delta [/mm] u = 0 für [mm] x\in(0,1) [/mm] , [mm] y\in(0,1)
[/mm]
u(0,y) = 0 , u(1,y) = [mm] sin(2*\pi*y) [/mm] für [mm] y\in(0,1)
[/mm]
u(x,0) = 0 , u(x,1) = 0 für [mm] x\in(0,1)
[/mm]
mit Hilfe eines Produktansatzes. |
Hallo,
ich habe bisher das gemacht:
Produktansatz: u(x,y)=v(x)*w(y) --> [mm] u_{xx}(x,y)=v''(x)*w(y) [/mm] , [mm] u_{yy}(x,y)=v(x)*w''(y)
[/mm]
Eingesetzt in die DGL [mm] \Delta [/mm] u = 0 : [mm] \Delta u=u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=v''(x)*w(y)+v(x)*w''(y)=0
[/mm]
Trennung der Variablen: v''(x)*w(y)+v(x)*w''(y)=0 --> [mm] \bruch{v''(x)}{v(x)}=-\bruch{w''(x)}{w(x)}
[/mm]
Da ja die linke Seite nur von x abhängt und die rechte nur von y, sind die Ausdrücke konstant:
[mm] \bruch{v''(x)}{v(x)}=-\bruch{w''(x)}{w(x)}=K
[/mm]
Hier hört alles auf. ich weiß nicht wie fortsetzen soll. ???
Danke vorab für die Hilfe.
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Hallo,
alles optimal bisher. Wie du selbst festgestellt hast, gilt nun $v''(x)=Kv(x)$. Diese gewöhnliche Differentialgleichung kannst du einfach lösen. Eine analoge Diffgleichung erhälst du für $w$. Die Integrationskonstanten und das K kannst du mit Hilfe der Randbedingungen bestimmen.
Gruß Patrick
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> alles optimal bisher. Wie du selbst festgestellt hast, gilt
> nun [mm]v''(x)=Kv(x)[/mm]. Diese gewöhnliche Differentialgleichung
> kannst du einfach lösen. Eine analoge Diffgleichung
> erhälst du für [mm]w[/mm]. Die Integrationskonstanten und das K
> kannst du mit Hilfe der Randbedingungen bestimmen.
Also die Fortführung:
v''(x)=K*v(x)
u'(x)=K*1 mit v''(x)=u'(x) , v'(x)=u(x) , v(x)=1
[mm] \bruch{dy}{dx}=K*1
[/mm]
[mm] \integral{dy}=\integral{Kdx}
[/mm]
[mm] y=K*x+C_{1}
[/mm]
meintest du das?
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Hallo monstre123,
> > alles optimal bisher. Wie du selbst festgestellt hast, gilt
> > nun [mm]v''(x)=Kv(x)[/mm]. Diese gewöhnliche Differentialgleichung
> > kannst du einfach lösen. Eine analoge Diffgleichung
> > erhälst du für [mm]w[/mm]. Die Integrationskonstanten und das K
> > kannst du mit Hilfe der Randbedingungen bestimmen.
>
>
> Also die Fortführung:
>
> v''(x)=K*v(x)
>
> u'(x)=K*1 mit v''(x)=u'(x) , v'(x)=u(x) , v(x)=1
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=K*1[/mm]
>
> [mm]\integral{dy}=\integral{Kdx}[/mm]
>
> [mm]y=K*x+C_{1}[/mm]
>
> meintest du das?
Die DGL
[mm]v''(x)=K*v(x)[/mm]
ist zunächst in Abhängigkeit von K zu lösen.
Bestimme demnach die Lösungen in den Fällen:
i) K > 0
ii) K=0
iii) K < 0
Gruss
MathePower
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> Hallo monstre123,
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> > > alles optimal bisher. Wie du selbst festgestellt hast, gilt
> > > nun [mm]v''(x)=Kv(x)[/mm]. Diese gewöhnliche Differentialgleichung
> > > kannst du einfach lösen. Eine analoge Diffgleichung
> > > erhälst du für [mm]w[/mm]. Die Integrationskonstanten und das K
> > > kannst du mit Hilfe der Randbedingungen bestimmen.
> >
> >
> > Also die Fortführung:
> >
> > v''(x)=K*v(x)
> >
> > u'(x)=K*1 mit v''(x)=u'(x) , v'(x)=u(x) , v(x)=1
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dx}=K*1[/mm]
> >
> > [mm]\integral{dy}=\integral{Kdx}[/mm]
> >
> > [mm]y=K*x+C_{1}[/mm]
> >
> > meintest du das?
>
>
> Die DGL
>
> [mm]v''(x)=K*v(x)[/mm]
>
> ist zunächst in Abhängigkeit von K zu lösen.
>
> Bestimme demnach die Lösungen in den Fällen:
>
> i) K > 0
> ii) K=0
> iii) K < 0
>
ich verstehe nicht ganz. ist das was ich oben gemacht habe für K>0 richtig? falls nicht, könntest du ein bsp. für K>0 geben.
Danke.
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Hallo monstre123,
> > Hallo monstre123,
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> > > > alles optimal bisher. Wie du selbst festgestellt hast, gilt
> > > > nun [mm]v''(x)=Kv(x)[/mm]. Diese gewöhnliche Differentialgleichung
> > > > kannst du einfach lösen. Eine analoge Diffgleichung
> > > > erhälst du für [mm]w[/mm]. Die Integrationskonstanten und das K
> > > > kannst du mit Hilfe der Randbedingungen bestimmen.
> > >
> > >
> > > Also die Fortführung:
> > >
> > > v''(x)=K*v(x)
> > >
> > > u'(x)=K*1 mit v''(x)=u'(x) , v'(x)=u(x) , v(x)=1
> > >
> > > [mm]\bruch{dy}{dx}=K*1[/mm]
> > >
> > > [mm]\integral{dy}=\integral{Kdx}[/mm]
> > >
> > > [mm]y=K*x+C_{1}[/mm]
> > >
> > > meintest du das?
> >
> >
> > Die DGL
> >
> > [mm]v''(x)=K*v(x)[/mm]
> >
> > ist zunächst in Abhängigkeit von K zu lösen.
> >
> > Bestimme demnach die Lösungen in den Fällen:
> >
> > i) K > 0
> > ii) K=0
> > iii) K < 0
> >
>
> ich verstehe nicht ganz. ist das was ich oben gemacht habe
> für K>0 richtig? falls nicht, könntest du ein bsp. für
> K>0 geben.
Beispiel:
Bestimme die Lösungen der DGL
[mm]v''\left(x\right)=\blue{K}*v\left(x\right)[/mm]
für K=4 ergibt sich:
[mm]v''\left(x\right)=\blue{4}*v\left(x\right)[/mm]
Umgeformt: [mm]v''\left(x\right)-\blue{4}*v\left(x\right)=0[/mm]
Jetzt nimmt man den Ansatz [mm]v\left(x\right)=e^{\lambda*x}[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]e^{\lambda*x}*\left(\lambda^{2}-\blue{4}\right)=0[/mm]
Diese Gleichung wird erfüllt von [mm]\lambda_{1}=2, \ \lambda_{2}=-2[/mm]
Demnach lautet hier die allgemeine Lösung:
[mm]v\left(x\right)=c_{1}*e^{2*x}+c_{2}*e^{-2*x}[/mm]
bzw. ganz allgemein für K > 0:
[mm]v\left(x\right)=c_{1}*e^{\wurzel{K}*x}+c_{2}*e^{-\wurzel{K}*x}[/mm]
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> Danke.
>
Gruss
MathePower
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