Dirichlets Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Do 01.12.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo Matheraum,
am Montag hatten wir in Analysis I die Dirichlets Funktion:
[mm] x\in\IR, f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
und die Behauptung, sie sei nirgendwo stetig. Die Erklärung war, dass zwischen jeweils zwei Zahlen aus [mm] \IQ [/mm] eine Zahl aus [mm] \IR [/mm] liegt, und dass zwischen zwei Zahlen aus [mm] \IR [/mm] wiederum eine Zahl aus [mm] \IQ [/mm] liegt.
So weit so gut, aber daraus ergäbe sich, dass die Menge der reellen Zahlen doppelt so groß sein müsste wie die der rationalen Zahlen, was ja nun aber auch nicht der Fall ist.
Nach der Vorlesung hab ich den Prof. darauf angesprochen. Der hat sich offenbar sehr gefreut und mir erklärt, dass zwischen zwei Zahlen aus [mm] \IQ [/mm] viel mehr Zahlen liegen, als zwischen zwei Zahlen aus [mm] \IR. [/mm] Ich habe darauf erwidert, dass zwischen denen dann aber wieder Zahlen aus der anderen Menge liegen müssten, damit es wirklich nie stetig ist. Das hat er mir zugestimmt und mir mitgeteilt dass man sich das nicht vorstellen kann.
Damit kann ich mich aber nicht zufrieden geben. Kann mir das von euch jemand erklären? Ich wäre sehr dankbar.
MfG Olek
|
|
| |
|
ktion:
>
> [mm]x\in\IR, f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> und die Behauptung, sie sei nirgendwo stetig. Die Erklärung
> war, dass zwischen jeweils zwei Zahlen aus [mm]\IQ[/mm] eine Zahl
> aus [mm]\IR[/mm] liegt, und dass zwischen zwei Zahlen aus [mm]\IR[/mm]
> wiederum eine Zahl aus [mm]\IQ[/mm] liegt.
Hallo,
das mit der Unstetigkeit der Dirichlet-Funktion ist ja nicht das Problem, wenn ich Dich recht verstehe, sondern nur der Anlaß für deine Überlegungen bzgl. rationale, reeller und irrationaler Zahlen.
Schau doch mal hier:
http://www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i.html#abz
Gruß v. Angela
|
|
|
|
