Disjunkte Zerlegung von C < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n eine natürliche Zahl. Es seien nun die komplexen Zahlen in n diskunkte Mengen zerlegt. Dann gibt es in mindestens einer dieser Mengen komplexe Zahlen [mm] z_1, z_2 [/mm] (wobei [mm] Im(z_1) \neq [/mm] 0 sein soll) mit
[mm] |z_2| [/mm] = [mm] |z_1| [/mm] + [mm] \frac{arg(z_1)}{|z_1|} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe leider selbst wenige Ideen. Ich hatte schon einige Ansätze, aber das richtige war bisher nicht dabei. Ich weiß, dass mindestens eine der Mengen überabzählbar und unbeschränkt sein muss.
Ich bräuchte wirklich nur einen Schubs in die richtige Richtung, damit ich weiter machen kann.
Liebe Grüße :)
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> Sei n eine natürliche Zahl. Es seien nun die komplexen
> Zahlen in n diskunkte Mengen zerlegt. Dann gibt es in
> mindestens einer dieser Mengen komplexe Zahlen [mm]z_1, z_2[/mm]
> (wobei [mm]Im(z_1) \neq[/mm] 0 sein soll) mit
> [mm]|z_2|[/mm] = [mm]|z_1|[/mm] + [mm]\frac{arg(z_1)}{|z_1|}[/mm]
> Ich habe leider selbst wenige Ideen. Ich hatte schon einige
> Ansätze, aber das richtige war bisher nicht dabei. Ich
> weiß, dass mindestens eine der Mengen überabzählbar und
> unbeschränkt sein muss.
> Ich bräuchte wirklich nur einen Schubs in die richtige
> Richtung, damit ich weiter machen kann.
>
> Liebe Grüße :)
Hallo Amplitude und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
zuerst zur Aufgabe: auf was für skurrile oder absonderliche
Ideen gewisse Aufgabensteller doch so verfallen, um die
Aufgabenlöser auf Trab zu halten ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Nebenbei: es heißt nicht "diskunkt", sondern "disjunkt".
Da die "Argumente" (Hauptwerte) auf ein kleines endliches
Intervall beschränkt sind, steht der Term [mm]T\ =\ \frac{arg(z_1)}{|z_1|}[/mm]
für große [mm] |z_1| [/mm] nur einen kleinen, fast vernachläßigbaren
positiven Summanden dar.
Die Bedingung in der Form [mm]|z_2|[/mm] = [mm]|z_1|[/mm] + T
legt für die Lage von [mm] z_2 [/mm] (passend zu einem zunächst
gewählten [mm] z_1) [/mm] einen Kreis um den Nullpunkt mit einem
gegebenen Radius [mm] |z_2| [/mm] (knapp größer als [mm] |z_1|) [/mm] vor.
Die gestellte Bedingung, dass einfach in wenigstens einem
der n Gebiete [mm] G_i [/mm] wenigstens ein [mm] z_1 [/mm] mit der Eigenschaft
existiere, dass der dazugehörige Kreis [mm] C(z_1) [/mm] das Gebiet [mm] G_i
[/mm]
in wenigstens einem Punkt [mm] z_2 [/mm] schneiden soll, ist doch wohl
eine sehr schwache Bedingung angesichts der Unermesslichkeit
von [mm] \IC [/mm] ...
Eine ganz einfache und wasserdichte Beweisidee ist mir zwar
noch nicht gekommen, aber ich stelle mir vor, dass ein Gegenbeispiel
ein wahres Monster sein müsste ...
LG , Al-Chw.
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Oha, ich habe keine Ahnung, warum ich mich bei dem Wort disjunkt jedesmal vertippt habe. Das ist aber tatsächlich versehentlich passiert ;)
Ich habe jetzt eine Beweisidee:
Mindestens eine der Mengen enthält eine Folge von Epsilonbällen um Punkte, deren Betrag immer größer wird, deren Radius aber nicht gegen 0 konvergiert.
Das müsste man noch zeigen, aber es erscheint mir logisch.
Meinst du, das funktioniert oder fällt dir ein Gegenbeispiel ein?
Edit:
Mir ist gerade selber aufgefallen, dass es dafür Gegenbeispiele gibt.. Schade. Ich überlege weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Do 15.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oha, ich habe keine Ahnung, warum ich mich bei dem Wort
> disjunkt jedesmal vertippt habe. Das ist aber tatsächlich
> versehentlich passiert ;)
>
> Ich habe jetzt eine Beweisidee:
>
> Mindestens eine der Mengen enthält eine Folge von
> Epsilonbällen um Punkte, deren Betrag immer größer wird,
> deren Radius aber nicht gegen 0 konvergiert.
Wie du schon sagtest, so einfach ist das nicht. Dass es ueberhaupt irgendwodrinnen Epsilonbaelle gibt waer noch zu beweisen -- bzw. stimmt gar nicht. Nimm etwa die eine Menge als die der Zahlen $a + b i$ mit $a, b [mm] \in \IQ$ [/mm] und als andere Menge das Komplement davon. Da gibt es nirgendswo einen Epsilonball drinnen.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Di 13.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei n eine natürliche Zahl. Es seien nun die komplexen
> Zahlen in n diskunkte Mengen zerlegt. Dann gibt es in
> mindestens einer dieser Mengen komplexe Zahlen [mm]z_1, z_2[/mm]
> (wobei [mm]Im(z_1) \neq[/mm] 0 sein soll) mit
> [mm]|z_2|[/mm] = [mm]|z_1|[/mm] + [mm]\frac{arg(z_1)}{|z_1|}[/mm]
Woher stammt diese Frage?
> Ich habe leider selbst wenige Ideen. Ich hatte schon einige
> Ansätze, aber das richtige war bisher nicht dabei. Ich
> weiß, dass mindestens eine der Mengen überabzählbar und
> unbeschränkt sein muss.
> Ich bräuchte wirklich nur einen Schubs in die richtige
> Richtung, damit ich weiter machen kann.
Ich wuerd das Problem erstmal vereinfachen. Zuerst kannst du ja [mm] $\IR$ [/mm] weglassen, da [mm] $z_1 \in \IR$ [/mm] eh nicht in Frage kommt; wenn du die Aussage fuer [mm] $\IC \setminus \IR$ [/mm] zeigen kannst, reicht das aus.
Nun kannst du [mm] $\IC \setminus \IR$ [/mm] darstellen als $X := [mm] \IR_{>0} \times [/mm] (0, [mm] 2\pi)$, [/mm] indem du $z [mm] \in \IC \setminus \IR$ [/mm] als $(|z|, arg(z))$ schreibst.
Du hast also eine disjunkte Zerlegung [mm] $X_1, \dots, X_n$ [/mm] von $X$ in $n$ Teilmengen, und willst zeigen, dass es $(x, y) [mm] \in [/mm] X$ und $z [mm] \in [/mm] (0, [mm] 2\pi)$ [/mm] gibt so dass $(x, y), (x + y/x, z)$ in der gleichen Menge [mm] $X_i$ [/mm] liegen.
Sei $I(x)$ die Menge der $i$, so dass es ein $y$ gibt mit $(x, y) [mm] \in X_i$. [/mm] Da zu jedem $x > 0$ die Menge $I(x)$ endlich ist, gibt es zu jedem $B > 0$ und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ zwei $x, x'$ mit $0 < x < x' < B$ mit $x' - x < [mm] \varepsilon$ [/mm] und $I(x) = I(x')$.
Damit kannst du jetzt ein Paar $(x, y)$ konstruieren, so dass es ein passendes $z$ gibt mit $(x, y), (x + y/x, z) [mm] \in X_i$ [/mm] fuer ein passendes $i$.
LG Felix
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