Diskrete Mathematik 2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom f(T):= [mm] T^3+T^2+1 \in \IZ_{2} [/mm] [T].
a) Zeigen Sie, dass das Polynom f(T):= [mm] T^3+T^2+1 \in \IZ_{2} [/mm] [T] irreduziebel ist.
Ferner sei m [mm] \subset \IZ_{2} [/mm] [T] das von f in [mm] \IZ_{2} [/mm] [T] erzeugte Ideal und [mm] \IF_{8}:= \IZ_{2} [/mm] [T] / m
der Körper mit 8 Elementen.
b)Zeigen Sie, dass [mm] (T^2+T+1)+m \in \IF_{8} [/mm] ein erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe [mm] (\IF^\*_{8}, [/mm] *) ist.
c)Welche Ordnung hat das Element (T+1) + m [mm] \in \IF_{8} [/mm] in der multiplikativen Gruppe [mm] (\IF^\*_{8}, [/mm] *)? |
Meine Lösung zu a)
p(T) = [mm] p_{1}(T) [/mm] * [mm] p_{2}(T) [/mm] * [mm] p_{3}(T),
[/mm]
grad [mm] p_{1} [/mm] = 1
grad [mm] p_{1} [/mm] = 1
grad [mm] p_{1} [/mm] = 1
grad p [mm] \le [/mm] 2
p ist irreduziebel [mm] \gdw \exists [/mm] a
p(a) = 0
[mm] \IZ_{2} T^3+T^2+1
[/mm]
0 1
1 1
also ist f irreduziebel.
Zu b)
m = [mm] \{p(T) * f(T) : p(T) \in \IZ_{2}(T)\}
[/mm]
[mm] \IZ_{2}(T) [/mm] / m = [mm] \IF_{8}
[/mm]
a = [mm] p_{1}(T)+m [/mm] grad [mm] p_{1} \le [/mm] 1
[mm] p_{1}(T) [/mm] = [mm] \alpha+\betaT, \alpha,\beta \in \IZ_{2} [/mm] haben 2 Elemente
[mm] (\IF_{8},+,*)
[/mm]
[mm] (\IF_{8} [/mm] \ {0},*)
[mm] \IF^\*_{8} [/mm] = [mm] \IF_{8} [/mm] \ {0}
a [mm] \in \IF^\*_{8} =\{1+m, m+T,1+m+T\}
[/mm]
<a> = [mm] \IF_{8} [/mm] ord(a) = 3
[mm] (T^2+T+1)^1+m [/mm] = [mm] T^2+T+1 [/mm] = 1+T+m
[mm] ((T^2+T+1)+m)^2 [/mm] = [mm] (T^2+T+1) [/mm] * [mm] (T^2+T+1) [/mm] = [mm] T^4+2T^3+3T^2+2T+1 [/mm]
= [mm] T^3+(T^3+T^2+1) [/mm] = T+m
[mm] ((T^2+T+1)+m)^3 [/mm] = [mm] (T^2+T+1) [/mm] * T = [mm] T^3+T^2+T+1+1 [/mm]
= [mm] (T^3+T^2+1)+(T+1) [/mm] = 1+m+T
Zu c)
[mm] ord(T^2+T+1+m) [/mm] = 1
Habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
so habe lange versucht die Aufgabe zu lösen hoffe die ist richtig...
Wenn nicht bitte ich euch um Hilfe...
Danke im voraus...
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> Gegeben sei das Polynom f(T):= [mm]T^3+T^2+1 \in \IZ_{2}[/mm] [T].
>
> a) Zeigen Sie, dass das Polynom f(T):= [mm]T^3+T^2+1 \in \IZ_{2}[/mm]
> [T] irreduziebel ist.
> Ferner sei m [mm]\subset \IZ_{2}[/mm] [T] das von f in [mm]\IZ_{2}[/mm] [T]
> erzeugte Ideal und [mm]\IF_{8}:= \IZ_{2}[/mm] [T] / m
> der Körper mit 8 Elementen.
>
> b)Zeigen Sie, dass [mm](T^2+T+1)+m \in \IF_{8}[/mm] ein erzeugendes
> Element der multiplikativen Gruppe [mm](\IF^\*_{8},[/mm] *) ist.
>
> c)Welche Ordnung hat das Element (T+1) + m [mm]\in \IF_{8}[/mm] in
> der multiplikativen Gruppe [mm](\IF^\*_{8},[/mm] *)?
> Meine Lösung zu a)
>
> p(T) = [mm]p_{1}(T)[/mm] * [mm]p_{2}(T)[/mm] * [mm]p_{3}(T),[/mm]
> grad [mm]p_{1}[/mm] = 1
> grad [mm]p_{1}[/mm] = 1
> grad [mm]p_{1}[/mm] = 1
>
> grad p [mm]\le[/mm] 2
>
> p ist irreduziebel [mm]\gdw \exists[/mm] a
> p(a) = 0
>
> [mm]\IZ_{2} T^3+T^2+1[/mm]
> 0 1
> 1 1
>
> also ist f irreduziebel.
Dieses Irreduzibiltätskriterium gilt auf für Polynome dritten Grades. Da nun [mm]T^3+T^2+1[/mm] keine Nullstelle in [mm]\IZ / 2\IZ[/mm] hat => irreduzibel.
>
> Zu b)
>
> m = [mm]\{p(T) * f(T) : p(T) \in \IZ_{2}(T)\}[/mm]
> [mm]\IZ_{2}(T)[/mm] / m =
> [mm]\IF_{8}[/mm]
>
> a = [mm]p_{1}(T)+m[/mm] grad [mm]p_{1} \le[/mm] 1
>
> [mm]p_{1}(T)[/mm] = [mm]\alpha+\betaT, \alpha,\beta \in \IZ_{2}[/mm]
> haben 2 Elemente
>
> [mm](\IF_{8},+,*)[/mm]
> [mm](\IF_{8}[/mm] \ {0},*)
> [mm]\IF^\*_{8}[/mm] = [mm]\IF_{8}[/mm] \ {0}
>
> a [mm]\in \IF^\*_{8} =\{1+m, m+T,1+m+T\}[/mm]
> <a> = [mm]\IF_{8}[/mm] ord(a)
> = 3
>
> [mm](T^2+T+1)^1+m[/mm] = [mm]T^2+T+1[/mm] = 1+T+m
> [mm]((T^2+T+1)+m)^2[/mm] = [mm](T^2+T+1)[/mm] * [mm](T^2+T+1)[/mm] =
> [mm]T^4+2T^3+3T^2+2T+1[/mm]
> = [mm]T^3+(T^3+T^2+1)[/mm] = T+m
> [mm]((T^2+T+1)+m)^3[/mm] = [mm](T^2+T+1)[/mm] * T = [mm]T^3+T^2+T+1+1[/mm]
> = [mm](T^3+T^2+1)+(T+1)[/mm] = 1+m+T
>
Das ist nicht schön aufgeschrieben.
[mm]\mathfrak{m}=\{g*f\; |\; g\in (\IZ/2\IZ)[T]\}[/mm]
[mm]((T^2+T+1)+\mathfrak{m})^2=(T^2+T+1)^2+\mathfrak{m}=T^4+2T^3+3T^2+2T+1+\mathfrak{m}=T^4+3T^2+1+\mathfrak{m}[/mm]
Was nun?
> Zu c)
> [mm]ord(T^2+T+1+m)[/mm] = 1
?
Es geht doch um [mm]T+1+\mathfrak{m}[/mm]. Dein Ergebnis widerspricht doch Aufgabenteil b).
>
> Habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
> so habe lange versucht die Aufgabe zu lösen hoffe die ist
> richtig...
> Wenn nicht bitte ich euch um Hilfe...
> Danke im voraus...
</a>
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| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom f(T):= [mm] T^3+T^2+1 \in \IZ_{2} [/mm] [T].
a) Zeigen Sie, dass das Polynom f(T):= [mm] T^3+T^2+1 \in \IZ_{2} [/mm] [T] irreduziebel ist.
Ferner sei m [mm] \subset \IZ_{2} [/mm] [T] das von f in [mm] \IZ_{2} [/mm] [T] erzeugte Ideal und [mm] \IF_{8}:= \IZ_{2} [/mm] [T] / m
der Körper mit 8 Elementen.
b)Zeigen Sie, dass [mm] (T^2+T+1)+m \in \IF_{8} [/mm] ein erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe [mm] (\IF^\*_{8}, [/mm] *) ist.
c)Welche Ordnung hat das Element (T+1) + m [mm] \in \IF_{8} [/mm] in der multiplikativen Gruppe [mm] (\IF^\*_{8}, [/mm] *)? |
Meine Lösung zu a)
p(T) = [mm] p_{1}(T) [/mm] * [mm] p_{2}(T) [/mm] * [mm] p_{3}(T),
[/mm]
grad [mm] p_{1} [/mm] = 1
grad [mm] p_{1} [/mm] = 1
grad [mm] p_{1} [/mm] = 1
grad p [mm] \le [/mm] 2
p ist irreduziebel [mm] \gdw \exists [/mm] a
p(a) = 0
[mm] \IZ_{2} T^3+T^2+1
[/mm]
0 1
1 1
also ist f irreduziebel.
Zu b)
m = [mm] \{p(T) * f(T) : p(T) \in \IZ_{2}(T)\}
[/mm]
[mm] \IZ_{2}(T) [/mm] / m = [mm] \IF_{8}
[/mm]
a = [mm] p_{1}(T)+m [/mm] grad [mm] p_{1} \le [/mm] 1
[mm] p_{1}(T) [/mm] = [mm] \alpha+\betaT, \alpha,\beta \in \IZ_{2} [/mm] haben 2 Elemente
[mm] (\IF_{8},+,*)
[/mm]
[mm] (\IF_{8} [/mm] \ {0},*)
[mm] \IF^\*_{8} [/mm] = [mm] \IF_{8} [/mm] \ {0}
a [mm] \in \IF^\*_{8} =\{1+m, m+T,1+m+T\}
[/mm]
<a> = [mm] \IF_{8} [/mm] ord(a) = 3
[mm] (T^2+T+1)^1+m [/mm] = [mm] T^2+T+1 [/mm] = 1+m
[mm] ((T^2+T+1)+m)^2 [/mm] = [mm] (T^2+T+1) [/mm] * [mm] (T^2+T+1) [/mm] = [mm] T^4+2T^3+3T^2+2T+1
[/mm]
= [mm] T^3+(T^3+T^2+1) [/mm] = T+m
[mm] ((T^2+T+1)+m)^3 [/mm] = [mm] (T^2+T+1) [/mm] * T = [mm] T^3+T^2+T+1+1
[/mm]
= [mm] (T^3+T^2+1)+(T+1) [/mm] = 1+m+T
Zu c)
[mm] ord(T^2+T+1+m) [/mm] = 1
Habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
so habe lange versucht die Aufgabe zu lösen hoffe die ist richtig...
Wenn nicht bitte ich euch um Hilfe...
Danke im voraus...
Zu a) also ist a schon mal richtig oder...?
Das ist nicht gut aufgeschrieben hast du gesagt:
[mm] \mathfrak{m}=\{g\cdot{}f\; |\; g\in (\IZ/2\IZ)[T]\}
[/mm]
wie kann ich das besser aufschreiben...?
Zu b)
Zu deinem was nun...? Habe ich das hier gemacht...
[mm] ((T^2+T+1)+\mathfrak{m})^2=(T^2+T+1)^2+\mathfrak{m}=T^4+2T^3+3T^2+2T+1+\mathfrak{m}=T^4+3T^2+1+\mathfrak{m}=T^3+(T^3+T^2+1)=T+m
[/mm]
Weiß jetzt nicht, ob das richtig ist...?
Zu c)
ord(T+1)+m=1
Hoffe das ist jetzt alles richtig...?
Kannst du das bitte nochmal durchchecken...
Habe leider Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe...
Vielen dank schon mal für deine Hilfe wieschoo...
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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> Meine Lösung zu a)
>
> p(T) = [mm]p_{1}(T)[/mm] * [mm]p_{2}(T)[/mm] * [mm]p_{3}(T),[/mm]
> grad [mm]p_{1}[/mm] = 1
> grad [mm]p_{1}[/mm] = 1
> grad [mm]p_{1}[/mm] = 1
>
> grad p [mm]\le[/mm] 2
Du hast also die Annahme, dass sich das Polynom faktorisieren lässt in drei irreduzible Polynome?!
>
> p ist irreduzibel [mm]\gdw \exists[/mm] a
> p(a) = 0
Dann wäre ja [mm](x+1)^2[/mm] auch irreduzibel, da deine Aussage für a=-1 gelten würde.
Ein Polynom [mm]f\in R[X][/mm] heißt irreduzibel, falls aus [mm]f=gh[/mm] stets folgt, dass g oder h eine Einheit (invertierbar) ist.
Kennst du den Satz: Sei [mm] $f\in [/mm] R[X]$ ein Polynom vom Grad 2 oder 3, dann gilt f ist irreduzibel <=> f hat keine Nullstelle.
betrachte das Polynom [mm]f(T):=T^3+T^2+1 \in \IZ_2[T][/mm]
f ist irreduzibel in [mm]\IZ_2[/mm], da wegen
[mm]f(0)=1=f(1)[/mm] das Polynom keine Nullstelle hat und grad(f)=3 ist. Fertig!
>
> [mm]\IZ_{2} T^3+T^2+1[/mm]
> 0 1
> 1 1
Ist das die Verknüpfungstafel. Die Frage ist ernst. Leider sieht man (oder eher ich) nicht, was du damit sagen möchtest
>
> also ist f irreduziebel.
irreduzibel ist das Polynom. ja.
>
> Zu b)
>
> m = [mm]\{p(T) * f(T) : p(T) \in \IZ_{2}(T)\}[/mm]
Das ist das Ideal [mm]\mathfrak{m}[/mm]
> [mm]\IZ_{2}(T)[/mm] / m =
> [mm]\IF_{8}[/mm]
eher [mm]\IZ_2 / \mathfrak{m} \cong \IF_8[/mm]
([mm]\mathfrak{m}[/mm] ist also auch maximales Ideal)
>
> a = [mm]p_{1}(T)+m[/mm] grad [mm]p_{1} \le[/mm] 1
>
> [mm]p_{1}(T)[/mm] = [mm]\alpha+\betaT, \alpha,\beta \in \IZ_{2}[/mm]
> haben 2 Elemente
Zusammengefasst nimmst du an, dass du das Polynom in 3 Faktoren [mm] $(\alpha_i+T\beta_i)$ [/mm] für i=1,2,3 aufspalten kannst?
Ich sehe jetzt nicht die Begründung, dass das Polynom irreduzibel ist.
>
> [mm](\IF_{8},+,*)[/mm]
> [mm](\IF_{8}[/mm] \ {0},*)
> [mm]\IF^\*_{8}[/mm] = [mm]\IF_{8}[/mm] \ {0}
Ja schon. Worauf willst du hinauf.
>
> a [mm]\in \IF^\*_{8} =\{1+m, m+T,1+m+T\}[/mm]
> <a> = [mm]\IF_{8}[/mm] ord(a)
> = 3
Die Rechung ist mir nicht klar. Sag erst einmal wie viele Elemente die Gruppe [mm](\IF_8^\star,\circ)[/mm] hat.
>
> [mm](T^2+T+1)^1+m[/mm] = [mm]T^2+T+1[/mm] = 1+m
> [mm]((T^2+T+1)+m)^2[/mm] = [mm](T^2+T+1)[/mm] * [mm](T^2+T+1)[/mm] =
> [mm]T^4+2T^3+3T^2+2T+1[/mm]
> = [mm]T^3+(T^3+T^2+1)[/mm] = T+m
> [mm]((T^2+T+1)+m)^3[/mm] = [mm](T^2+T+1)[/mm] * T = [mm]T^3+T^2+T+1+1[/mm]
> = [mm](T^3+T^2+1)+(T+1)[/mm] = 1+m+T
>
> Zu c)
> [mm]ord(T^2+T+1+m)[/mm] = 1
>
> Zu a) also ist a schon mal richtig oder...?
>
> Das ist nicht gut aufgeschrieben hast du gesagt:
> [mm]\mathfrak{m}=\{g\cdot{}f\; |\; g\in (\IZ/2\IZ)[T]\}[/mm]
> wie
> kann ich das besser aufschreiben...?
siehe oben.
>
> Zu b)
> Zu deinem was nun...? Habe ich das hier gemacht...
>
> [mm]((T^2+T+1)+\mathfrak{m})^2=(T^2+T+1)^2+\mathfrak{m}=T^4+2T^3+3T^2+2T+1+\mathfrak{m}=T^4+3T^2+1+\mathfrak{m}\red{=}T^3+(T^3+T^2+1)+\green{\mathfrak{m}}=T+m[/mm]
> Weiß jetzt nicht, ob das richtig ist...?
Wie du mit Restklassen rechnest weißt du hoffentlich. Eine Idee wäre doch nun auszurechnen, welche Elemente sich alle durch multiplikation modulo [mm]\mathfrak{m}[/mm] bilden lassen. Das rote = ist mir noch nicht klar. Was machst du da? Kann sein, dass ich es nicht sehe.
>
> Zu c)
> ord(T+1+m)=1
> Hoffe das ist jetzt alles richtig...?
Bei dem Element [mm] $T+1+\mathfrak{m}=:\alpha \in \IF_8$ [/mm] musst du doch nur solange potenzieren bis du das neutrale Element erhälst.
Ordnung 1 kann nicht sein. Ordnung 1 würde bedeuten, dass [mm] $(T+1+\mahfrak{m})^2=T+1+\mathfrak{m}$ [/mm] gelten würde. Ist leider nicht so.
also rechne [mm] $\alpha,\alpha^2,\alpha^3,,\alpha^4,\ldots$ [/mm] bis das neutrale Element erscheint.
Im ganzen kann ich leider deine Gedankengänge schlecht nachvollziehen. Das heißt nicht, dass sie falsch sind. Würdest du deinen Lösungsansatz in vollständigen Sätzen wiedergeben, so erhöht es doch die Chance verstanden zu werden. Kannst du deine a) ausführlich aufschreiben?
</a>
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