Diskrete Mengen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Hallo, habe eine Verständnis Problem,
Die Diskrete Menge ist wie folgt definiert:
Eine Menge [mm] $M\subset [/mm] X$ heißt diskret in X, wenn sie keine Häufungspunkte in X besitzt.
Z.B ist [mm] $\{1/n;n \in N\}$ [/mm] diskret in [mm] $\mathbb{E}=\{|z|<1\}$, [/mm] aber nicht in [mm] $´\mathbb{C}$ [/mm] |
Wieso ist das so?
Liebe Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Fr 17.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Nadia!
> Hallo, habe eine Verständnis Problem,
>
> Die Diskrete Menge ist wie folgt definiert:
>
> Eine Menge [mm]M\subset X[/mm] heißt diskret in X, wenn sie keine
> Häufungspunkte in X besitzt.
> Z.B ist [mm]\{1/n;n \in N\}[/mm] diskret in [mm]\mathbb{E}=\{|z|<1\}[/mm],
> aber nicht in [mm]´\mathbb{C}[/mm]
Die Menge ist weder diskret in [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] noch in [mm] $\IC$.
[/mm]
Du meinst wohl die Menge [mm] $\{ 1 - 1/n \mid n \in \IN \}$.
[/mm]
Dass diese nicht diskret ist in [mm] $\IC$, [/mm] siehst du daran dass sie 1 als Haeufungspunkt hat. (Und das ist der einzige solche Punkt.) In [mm] $\{ |z| < 1 \}$ [/mm] hat die Menge dagegen keine Haeufungspunkte.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke für die Antwort,
wieso hat die 1 in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] eine Häufungspunkt?
hat das was mit dem Grenzwert der Menge zu tun?
Die eins kommt doch nur einmal vor:(
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Espe |
Ich bin ein wenig verwirrt von deiner Aussage "Die 1 kommt doch nur einmal vor ", wenn ich ehrlich bin :)
Ein Häufungspunkt (topologisch gesehen)ist ein punkt p von einer Menge M, wenn in jeder Umgebung von p mindestens ein Punkt von M liegt, der von p verschieden ist. Grenzwerte von Folgen sind daher quasi per Definition Häufungspunkte einer Menge, wenn der Grenzwert in der Menge liegt . In diesem Fall ist 1 der Grenzwert der Folge 1- 1/n. 1 liegt jedoch nicht in deiner Menge E, also hat die Menge der Punkte deiner Folge keinen Häufungspunkt in E.
in [mm] \IC [/mm] dann allerdings schon.
Lieben Gruß
Espe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Sehr schön, das hat sehr geholfen. Also ist jede abgeschlossene menge eine diskrete menge ?
Viele grüße
nadia
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> Sehr schön, das hat sehr geholfen. Also ist jede
> abgeschlossene menge eine diskrete menge ? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Neeeinn ! Wie kommst du denn darauf ?
Wie ist denn Abgeschlossenheit definiert ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Hallo, AL, Chawarismi
Sorry, ich meinte eigentlich jede beschränkte und abgeschlosene Menge ist eine diskrete Menge.
Noch ne Frage, wieso hast du dich AL, Chawarismi genannt, wa faziniert dich an ihm so sehr :)?
Viele Grüße
Nadia
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Hallo Nadia,
> Hallo, AL, Chawarismi
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> Sorry, ich meinte eigentlich jede beschränkte und
> abgeschlosene Menge ist eine diskrete Menge.
Das stimmt aber genau so wenig ... irgendwas scheinst
du beim Begriff "diskrete Teilmenge" noch nicht ganz
verstanden zu haben. Die Elemente einer diskreten
Teilmenge M eines Raumes R müssen (bezüglich der
Metrik oder Topologie von R) voneinander getrennt
sein. Jedes einzelne Element von M muss also eine
R-Umgebung haben, die es "für sich allein" bean-
sprucht, ohne Konkurrenz anderer Elemente aus M.
Eine diskrete (Teil-) Menge ist also so etwas wie ein
"Verein von Einsiedlern" ...
> Noch ne Frage, wieso hast du dich AL, Chawarismi genannt,
> wa faziniert dich an ihm so sehr :)?
> Viele Grüße
>
> Nadia
Hallo Nadia,
für mich scheint er ein sehr bedeutender Mathematiker
zu sein, da er erstens quasi der Schöpfer der algebraischen
Umformungen von (linearen und quadratischen) Gleichungen
war. Seine Rezepte zum Umformen von Gleichungen ent-
sprechen noch weitgehend dem, wie auch heutigen
Schülern noch das schrittweise Lösen von Gleichungen
gelehrt wird.
Er verfasste auch ein Lehrbuch über den Umgang mit den
durch (indische) Ziffern des Dezimalsystems dargestellten
Zahlen. Dabei führte er auch die Null ein, welche das Rechnen
übersichtlicher machte.
Daneben erstellte er Tabellen für die Trigonometrie und
arbeitete auch in Astronomie - für mich schon lange ein
Hobby.
Da sein Name Anlass zum Begriff "Algorithmus" gab, ist
er gewissermaßen sogar mit unserer modernen Zeit
(Informatik, Computer) verbunden - obwohl er natürlich
von derartigen Anwendungen nicht mal träumen konnte.
Was ich noch erwähnen sollte, ist mein seit jeher großes
Interesse für asiatische Länder und den orientalischen
Kulturraum ...
Liebe Grüße
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Sa 18.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Sorry, ich meinte eigentlich jede beschränkte und
> > abgeschlosene Menge ist eine diskrete Menge.
Ich glaub hier verwechselt Nadja die Begriffe "kompakt" und "diskret". Im [mm] $\IR^n$ [/mm] ist kompakt gleichbedeutend mit beschraenkt und abgeschlossen.
> Das stimmt aber genau so wenig ... irgendwas scheinst
> du beim Begriff "diskrete Teilmenge" noch nicht ganz
> verstanden zu haben. Die Elemente einer diskreten
> Teilmenge M eines Raumes R müssen (bezüglich der
> Metrik oder Topologie von R) voneinander getrennt
> sein. Jedes einzelne Element von M muss also eine
> R-Umgebung haben, die es "für sich allein" bean-
> sprucht, ohne Konkurrenz anderer Elemente aus M.
Das reicht leider nicht, ansonsten waer die Menge [mm] $\{ \frac{1}{n} \mid n \in \IN_{>0} \}$ [/mm] ebenfalls in [mm] $\IR$ [/mm] diskret. Als topologischer Raum (mit der Spurtopologie von [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$) [/mm] ist diese Menge schon diskret; als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] (oder auch [mm] $\IC$) [/mm] jedoch nicht.
> Eine diskrete (Teil-) Menge ist also so etwas wie ein
> "Verein von Einsiedlern" ...
Das charakterisiert eigentlich nur einen diskreten topologischen Raum.
Als diskrete Teilmenge muss zusaetzlich noch erfuellt sein, dass die Menge keine Haeufungspunkte im topologischen Raum, in dem sie lebt, hat.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Sa 18.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sehr schön, das hat sehr geholfen. Also ist jede
> abgeschlossene menge eine diskrete menge ?
Nochmal: Eine Menge $ [mm] M\subset [/mm] X $ heißt diskret in X,wenn ....
1. Zu sagen "eine Menge ist diskret", ohne den Zusatz "in X" ist völlig sinnlos. Das zeigen die obigen Beispiele.
2. Überlege Dir mal für die Situation $ [mm] M\subset [/mm] X [mm] \subset \IC$, [/mm] dass M höchstens abzählbar ist, wenn M in X diskret ist.
FRED
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> Viele grüße
> nadia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke Fred für die Hilfe,
mir fällt leider die um auf deine Antwort einzugehen.
vielleicht später.
Viele Grüße
Nadia..
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