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Diskrete Metrik: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Fr 25.04.2008
Autor: skydyke

Aufgabe
Es sei X eine nicht leere Menge, versehen mit der diskreten Metrik d. Zeigen Sie
a)eine Folge in X konvergiert genau dann, wenn es eine Stelle N [mm] \in \IN, [/mm] aber der sie konstant ist (d.h. [mm] x_n [/mm] = [mm] x_N [/mm] für alle  n [mm] \ge [/mm] N)

b)Charakteresieren sie analog die Cauchyfolgen und zeigen sie, dass (X,d) vollständig ist.  

Hallo,

bei a muss ich doch versuchen [mm] \varepsilon [/mm] - Kugeln zu finden für die gilt dass [mm] x_n \subseteq B_\varepsilon(x)oder? [/mm] und dieser ausdruck muss dann irgendwann konstant sein, aber wie soll man das denn zeigen? da hab ich echt kein plan.

bei b weiß ich eigentlich nur das das soviel bedeutet wie das jede cauchyfolge konvergeiert. aber da weiß ich trotzdem überhaupt keinen ansatz.
bitte kann mir da einer weiterhelfen???

vielen dank

sabrina

        
Bezug
Diskrete Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Fr 25.04.2008
Autor: rainerS

Hallo sabrina!

> Es sei X eine nicht leere Menge, versehen mit der diskreten
> Metrik d. Zeigen Sie
>  a)eine Folge in X konvergiert genau dann, wenn es eine
> Stelle N [mm]\in \IN,[/mm] aber der sie konstant ist (d.h. [mm]x_n[/mm] = [mm]x_N[/mm]
> für alle  n [mm]\ge[/mm] N)
>  
> b)Charakteresieren sie analog die Cauchyfolgen und zeigen
> sie, dass (X,d) vollständig ist.
> Hallo,
>  
> bei a muss ich doch versuchen [mm]\varepsilon[/mm] - Kugeln zu
> finden für die gilt dass [mm]x_n \subseteq B_\varepsilon(x)oder?[/mm]
> und dieser ausdruck muss dann irgendwann konstant sein,
> aber wie soll man das denn zeigen? da hab ich echt kein
> plan.

Überlege dir, wie die [mm] $\varepsilon$-Kugeln [/mm] überhaupt aussehen.

Tipp: Unterscheide die Fälle [mm] $\varepsilon\ge1$ [/mm] und [mm] $\varepsilon< [/mm] 1$.

> bei b weiß ich eigentlich nur das das soviel bedeutet wie
> das jede cauchyfolge konvergeiert. aber da weiß ich
> trotzdem überhaupt keinen ansatz.

Du musst dir zuerst überlegen, wie eine Cauchyfolge aussieht. Es muss ja für ein gegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] geben, sodass

[mm] d(x_n,x_m) <\varepsilon [/mm] für $n,m>N$ .

Betrachte wieder den Fall [mm] $\varepsilon< [/mm] 1$!

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Diskrete Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Mo 28.04.2008
Autor: skydyke

Also die [mm] \varepsilon [/mm] - kugel sieht so aus:

[mm] \varepsilon [/mm] < 1, da ist die kugel offen, da 1 nicht erreicht wird und wir in der diskreten metrik sind

[mm] \varepsilon [/mm] > 1, hier ist die Kugel die gesamte Folge

wie mach ich denn jetzt weiter? wie zeig ich denn jetzt das [mm] x_n [/mm] < [mm] B_\varepsilon(x) [/mm] ist? welche [mm] \varepsilon-kugel [/mm] muss ich denn dazu betrachten, die > 1, da die gesamte folge?


zu b) hab ich mir überlegt:

[mm] x_n \subseteq [/mm] X ist Cauchyfolge, da [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N [mm] \in \IN: d(x_n,x_m)< \varepsilon [/mm] für alle n,m > N und dies gilt, da
[mm] \varepsilon [/mm] <1 ist offene Kugel und erreicht nicht den Abstand 1 der in der diskreten Mege gegeben ist
=> [mm] d(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]   für alle n,m > N

Bezug
                        
Bezug
Diskrete Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Mo 28.04.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Also die [mm]\varepsilon[/mm] - kugel sieht so aus:
>  
> [mm]\varepsilon[/mm] < 1, da ist die kugel offen, da 1 nicht
> erreicht wird und wir in der diskreten metrik sind

Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Welche Punkte liegen in dieser Kugel.

>  
> [mm]\varepsilon[/mm] > 1, hier ist die Kugel die gesamte Folge

Nein, das stimmt nicht. Was ist die Menge aller Punkte für die [mm] $d(x,y)<\varepsilon$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 1$ ist?
(Diese Menge ist auch offen.)

> wie mach ich denn jetzt weiter? wie zeig ich denn jetzt das
> [mm]x_n[/mm] < [mm]B_\varepsilon(x)[/mm] ist? welche [mm]\varepsilon-kugel[/mm] muss
> ich denn dazu betrachten, die > 1, da die gesamte folge?

Welcher der beiden Fälle [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ und [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 1$ ist für die Konvergenz interessant?

> zu b) hab ich mir überlegt:
>  
> [mm]x_n \subseteq[/mm] X ist Cauchyfolge, da [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> existiert ein N [mm]\in \IN: d(x_n,x_m)< \varepsilon[/mm] für alle
> n,m > N und dies gilt, da
> [mm]\varepsilon[/mm] <1 ist offene Kugel und erreicht nicht den
> Abstand 1 der in der diskreten Mege gegeben ist
>  => [mm]d(x_n,x_m)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]   für alle n,m > N

Aber was bedeutet es für [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $x_m$, [/mm] wenn [mm]d(x_n,x_m) < \varepsilon <1[/mm] ist?

Viele Grüße
   Rainer

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