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| Aufgabe | (4-maliger unabh. Münzwurf mit einer fairen Münze)
Sei X die Zufallsvariable "Anzahl Kopf". Der Träger ist dann [mm] $\mathcal [/mm] T = [mm] \{0, 1, 2, 3, 4\}.$
[/mm]
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich:
[mm] $f(0)=\left( \bruch{1}{2} \right)^{4}=1/16$
[/mm]
$f(1)= [mm] \qquad \quad \quad [/mm] 4/16$
$f(2)= [mm] \qquad \quad \quad [/mm] 6/16$
$f(3)= [mm] \qquad \quad \quad [/mm] 4/16$
$f(4)= [mm] \qquad \quad \quad [/mm] 1/16$
[mm] $\Rightarrow F(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{ : } x<0 \\ 1/16 & \mbox{ : } 0 \le x < 1 \\ 5/16 & \mbox{ : } 1 \le x < 2 \\ 11/16 & \mbox{ : } 2 \le x < 3 \\ 15/16 & \mbox{ : } 3 \le x < 4 \\ 1 & \mbox{ : } x \ge 4 \\ \end{cases}$ [/mm] |
Hallo,
das ist eigentlich keine Aufgabe, sondern ein Beispiel aus dem Skript, bei dem ich leider eine Schwierigkeit habe.
Bis auf $f(0)=1/16$ ist mir leider nicht klar, wie die restlichen Werte zustande kommen (die Verteilungsfunktion F(x) ist allerdings kein Problem)...
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion sagt doch in Worten aus "Wenn ich viermal eine Münze werfe, dann möchte ich jeweils die W'keit dafür, dass 0-/1-/2-/3-/4-mal der Kopf fällt"; wie aber kommen die Werte für f(1) bis f(4) zustande?
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 05.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es ist [mm] 4=\vektor{4 \\ 1}, 6=\vektor{4 \\ 2}, 4=\vektor{4 \\ 3} [/mm] und [mm] 1=\vektor{4 \\ 0}. [/mm] Die Zähler stammen also von binomialkoeffizienten. Das liegt daran, dass, wenn man sich z.B. für genau 3 mal Kopf interessiert, die Möglichkeiten KKKZ, KKZK, KZKK, ZKKK hat, also [mm] \vektor{4 \\ 3}=4 [/mm] Stück. Diese 4 Ergebnisse sind auch alle disjunkt und haben alle die Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{16}.
[/mm]
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