Diskretisierung < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 01.05.2008 | | Autor: | Blueevan |
Hallo!
Wir haben in der Vorlesung die Diskretisierung der DGl -u''(x)=f(x) mit den Randpunkten [mm] u(0)=g_{0} [/mm] und [mm] u(1)=g_{1} [/mm] behandelt und dabei [mm] u''(x)=\bruch{1}{h²}(u(x-h)-2u(x)+u(x+h))+O(h²) [/mm] für [mm] h\to [/mm] 0 als Approximation verwendet.
Leider versteh ich irgendwie nicht wie er auf die Formel kommt. Angeblich mit Taylor, aber ich krieg das nicht hin. Kann mir jemand sagen um welchen Punkt man hier entwickelt?
Ausserdem versteh ich noch eine weitere Sache nicht: h ist ja [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und für [mm] h\to [/mm] 0 musst ich ja [mm] n\to\infty [/mm] betrachten, das bedeutet aber, dass [mm] \bruch{1}{h²} [/mm] größer wird je kleiner h wird. Aber dann würde mein Fehler ja immer größer werden, je kleiner ich die Schritte wähle?
Hoffe jemand kann mir helfen, bin ein bisschen ratlos.
Viele Grüße,
Blueevan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 01.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Um ne Approx. von u'(x) zu haben nimmst du doch auch einfach die Sehnensteigung
(u(x)-u(x-h))/h auch hier wird 1/h groß, aber entsprechend ja auch u(x)-u(x-h) klein!
Wenn du jetzt u''(x) als Ableitung von u'(x) hinschreibst,bzw. approximieren willst, rechnest du die Sehnensteigung von u'(x) aus (das du allerdings auch nur wie oben approximiert hast.)
also [mm] \bruch{\bruch{u(x+h)-u(x)}{h} - \bruch{u(x)-u(x-h)}{h}}{h} \approx [/mm] u''(x)
Das gibt deine Formel bis auf das [mm] O(h^2)
[/mm]
Gruss leduart
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