Diskusion einer Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mi 29.09.2004 | | Autor: | triple |
Hallo,
meine Frage ist zu folgender Aufgabe:
Diskutieren Sie f(x) = [mm] x^4 [/mm] + 5 [mm] x^3 [/mm] + 6 [mm] x^2
[/mm]
Ich würde gern eure Ergebnisse dazu wissen, den ich habe dazu folgende Werte:
Nullstellen: xo/1 = 0 ; xo/2 = -2 ; xo/3 = -3
Extremstellen: xe/1 = 0 ; xe/2 = -1,157 ; xe/3 = -2,593
das ergibt: H(-1,157|2,079) und H(-2,593|1,623)
Wendestellen: W(-0,5|0,9375) [ r -> l ] und W(-2|0) [ l -> r ]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo triple,
ich habe mal schnell mit DERIVE nachgerechnet
und keine Fehler gefunden:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mi 29.09.2004 | | Autor: | triple |
Danke für die Überprüfung.
Mit einem Java online Rechner habe ich die Nullstellen mal überprüft, den dort gibt der mir xo/1 = -2 ; xo/2 = -3 ; xo/3 = 0 und xo/4 = 0 aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Mi 29.09.2004 | | Autor: | informix |
> Danke für die Überprüfung.
> Mit einem Java online Rechner habe ich die Nullstellen mal
> überprüft, den dort gibt der mir xo/1 = -2 ; xo/2 = -3 ;
> xo/3 = 0 und xo/4 = 0 aus.
>
Stimmt auch: denn bei $x=0$ liegt eine doppelte Nullstelle vor.
Weißt du was das ist?
Du kannst bei dem Term [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern:
[mm] $x^2(x^2+5x+6)=0$
[/mm]
damit ergeben sich die oben genannten 4 Nullstellen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Übrigens:
eine doppelte Nullstelle ist stets auch eine Extremstelle!
Denk mal nach, warum.
Betrachte die 1. Ableitung der Funktion.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 29.09.2004 | | Autor: | triple |
Ich hab die Funktion nicht ausgeklammert, sondern x² + 5x + 6 gerechnet, da es ja eine Biquadratische Formel ist, aber mit dem ausklammern kommt das schon hin, dann habe ich ja xo/1 und xo/2 = 0 und danach halt die beiden anderen per p-q-Formel.
Da ich ja bei der ersten Ableitung auch ausklammere, bekomme ich ein: xe/0 = 0, bloß wie ist das definiert? Denn > 0 ist ja Hochpunkt und < 0 Tiefpunkt! Was mach ich bei ? (0|0)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Disap |
> Ich hab die Funktion nicht ausgeklammert, sondern x² + 5x +
> 6 gerechnet, da es ja eine Biquadratische Formel ist, aber
> mit dem ausklammern kommt das schon hin, dann habe ich ja
> xo/1 und xo/2 = 0 und danach halt die beiden anderen per
> p-q-Formel.
> Da ich ja bei der ersten Ableitung auch ausklammere,
> bekomme ich ein: xe/0 = 0, bloß wie ist das definiert? Denn
> > 0 ist ja Hochpunkt und < 0 Tiefpunkt! Was mach ich bei ?
> (0|0)?
>
Wenn f'(x)=0 ist, dann errechnet man ja den Extrempunkt! im Extrempunkt ist die Steigung gleich Null.
Den Wert, den man dann herausbekommt, ist der X des (Extrem)Punkts.
Setzt man diesen in die zweite Ableitung ein:
f''(x) = 0
Tiefpunkt bei f''(xe)=0 > 0
Hochpunkt bei f''(xe)=0 < 0
(Ursprünglich stand hier, dass wenn man für f''(xe) = 0 Null herausbekommt, dass xe dann kein Extrempunkt ist. Diese Aussage ist falsch. Für die Beantwortung der Frage: "Was mach ich bei (0|0)?" - siehe Mitteliung von Marcel)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Disap,
> ...
> Wenn f'(x)=0 ist, dann errechnet man ja den Extrempunkt! im
> Extrempunkt ist die Steigung gleich Null.
> Den Wert, den man dann herausbekommt, ist der X des
> (Extrem)Punkts.
> Setzt man diesen in die zweite Ableitung ein:
>
> f''(x) = 0
>
> und bekommt 0 heraus, so haben wir keinen Extrempunkt
Das stimmt so nicht. Gegenbeispiel:
[mm] $f_1: \IR \rightarrow \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f_1(x):=x^4$. [/mm] Hier ist
[mm] $f_1^{'}(x)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x=0$,aber auch
[mm] $f_1^{''}(0)=0$.
[/mm]
Trotzdem ist [mm] $x_0=0$ [/mm] eine Extremstelle (genauer: lokale und sogar globale Minimalstelle) der Funktion [mm] $f_1$. [/mm]
Wenn du eine reellwertige Funktion $f$ einer reellen Variablen hast, wobei [m]x_0 \in \IR[/m] mit [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $f''(x_0)=0$, [/mm] dann kannst du herausfinden, ob [mm] $x_0$ [/mm] tatsächlich Extremstelle ist, indem du die Funktionswerte 'nahe bei [m]x_0[/m]' untersuchst:
Wenn du nachweisen kannst, dass für ein genügend kleines [m]\varepsilon > 0[/m] stets $f(x) [mm] \ge f(x_0)$ [/mm] für alle $ x [mm] \in$ [x_0-\varepsilon;x_0+\varepsilon] [/mm] gilt, so wäre [mm] $x_0$ [/mm] eine Minimalstelle (mindestens lokaler Art).
Analog kann man das auf den Fall der Maximalstelle übertragen.
Oder aber du versuchst, das Monotonieverhalten 'nahe bei [mm] $x_0$' [/mm] herauszufinden, ich erläutere etwas genauer, wie ich das meine:
Wäre zum Beispiel für ein genügend kleines [m]\varepsilon > 0[/m] die Funktion im Intervall [mm] [x_0-\varepsilon;x_0] [/mm] monoton fallend und im Intervall [mm] [x_0;x_0+\varepsilon] [/mm] monoton wachsend, so wäre [mm] $x_0$ [/mm] eine Minimalstelle (mindestens lokaler Art) von $f$.
(Wieder Analoges für Maximalstelle übertragbar.)
Es gibt bestimmt auch noch andere 'Tests', die hier erwähnten sind mir gerade auf die Schnelle eingefallen. 
PS: Es ist des öfteren nützlich, dass man aus der Ableitung einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen auf das Monotonieverhalten schließen kann. Falls ihr diesbezüglich schon einmal etwas gehört habt, dann schaut es euch noch einmal an und prägt es gut ein!
Liebe Grüße
Marcel
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