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Forum "Differenzialrechnung" - Diskussion Wurzelfunktion
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Diskussion Wurzelfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 So 16.11.2008
Autor: Dinker

Aufgabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich möchte eine Wurzelfunktionsdikussion durchführen


f(x) = [mm] (x)/(\wurzel{x^2 + 1}) [/mm]

Definitionsbereich: Der Nenner darf weder negativ noch Null sein.

[mm] x^2 [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 0
Ist für alle IR Zahlen definiert

Nullstellen
Liegt bei x = 0

Punkte mit horizontaler Tangente
Leite ab......f'(x) = [mm] 1/(x^2 [/mm] + [mm] 1)^1.5 [/mm]

Ich finde nichts....ist das korrekt?

Das Randverhalten
Kann mir da jemand helfen? bei einer Ganzrationalen Funktion muss man ja einfach den Term des grössten Grades betrachten
Wie ist das nun hier? und zudem hab ich mega Probleme mit der korrekten Schreibweise


Besten Dank

Besten Dank
        
Bezug
Diskussion Wurzelfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 So 16.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Dinker,

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich möchte eine Wurzelfunktionsdikussion durchführen
>  
>
> f(x) = [mm](x)/(\wurzel{x^2 + 1})[/mm]
>  
> Definitionsbereich: Der Nenner darf weder negativ noch Null
> sein. [ok]
>  
> [mm]x^2[/mm] + 1 [mm]\ge[/mm] 0
>  Ist für alle IR Zahlen definiert [ok]

Ok, eigentlich nach deiner vorherigen Überlegung streng genommen [mm] $x^2+1 [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$

>  
> Nullstellen
>  Liegt bei x = 0 [ok]
>  
> Punkte mit horizontaler Tangente
>  Leite ab......f'(x) = [mm]1/(x^2[/mm] + [mm]1)^1.5[/mm] [ok]

Setze Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern {}

>  
> Ich finde nichts....ist das korrekt?

Jo, [mm] $f'(x)\neq [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm]

>  
> Das Randverhalten
>  Kann mir da jemand helfen? bei einer Ganzrationalen
> Funktion muss man ja einfach den Term des grössten Grades
> betrachten
>  Wie ist das nun hier? und zudem hab ich mega Probleme mit
> der korrekten Schreibweise

Betrachte das Grenzverhalten von f für [mm] $x\to\red{+}\infty$ [/mm] und für [mm] $x\to\red{-}\infty$ [/mm]

Dazu kannst du in der Wurzel im Nenner mal [mm] x^2 [/mm] ausklammern und es dann als $|x|$ aus der Wurzel holen (bedenke, dass gilt: [mm] $\sqrt{x^2}=|x|$) [/mm]


>  
>
> Besten Dank
>  
> Besten Dank

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Diskussion Wurzelfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 So 16.11.2008
Autor: Dinker

Versteht nicht wie ich das ausklammern kann...
[mm] \wurzel{x^2 + 1} [/mm] Da kann ich ka nichts ausklammern....
oder meinst du kann ich das einfach 0 setzen:
0 = [mm] \wurzel{x^2 + 1} [/mm]   dann quadrieren
[mm] x^2 [/mm] + 1

Bezug
                        
Bezug
Diskussion Wurzelfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 16.11.2008
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] f(x)=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+1}} [/mm]

[mm] f(x)=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}(1+\bruch{1}{x^{2}})}} [/mm]

Steffi
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Bezug
Diskussion Wurzelfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 So 16.11.2008
Autor: Dinker

Besten Dank.
Ich sehe was du meinst, aber wie lautet denn die Regel? Muss ich nur immer den Nenner betrachtet oder wie?

Besten Dnak
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Diskussion Wurzelfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:09 So 16.11.2008
Autor: mareike-f

Regeln kannst du dir ja auch selber herleiten überleg doch mal was passiert, wenn x ganz groß bzw. ganz klein ist. Lässt sich was feststellen wenn du eine sehr große Zahl einsetzt? Wird das Ergebniss immer größer oder immer kleiner übersteigt es einen gewissen Punkt gar nicht mehr?
[mm] \frac{1}{x} [/mm] und wenn das jetzt für [mm] x\rightarrow \infty [/mm] betrachtest wirst du jetzt feststellen das dein ergebnis auf alle Fälle gegen null geht.
Schau dir nun deine Funktion an, wie reagieren einzelne Teile in deiner Funktion?
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Bezug
Diskussion Wurzelfunktion: ausklammern und kürzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 So 16.11.2008
Autor: Loddar

Hallo Dinker!


Es ist hier immer anzustreben, einen möglichst großen Term / Potenz der Variable $x_$ auszuklammern.

Anschließend wird dann die Grenzwertbetrachtung durchgeführt.


Gruß
Loddar

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