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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Diskussion einer Kurvenschar
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Diskussion einer Kurvenschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Mo 14.05.2007
Autor: lollipop

Aufgabe
Leite ab und untersuche folgende Funktion auf Nullstellen, extremstellen, Wendepunkte und Randverhalten.
fa(x)=x/a*e^(a-x)   ; a>0

Hallo, ich bekomme einfach die ableitungen hier nicht hin....kann mir vielleicht jemand helfen????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Diskussion einer Kurvenschar: 1. Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Mo 14.05.2007
Autor: Loddar

Hallo lollipop,

[willkommenmr] !!


Dann helfe ich Dir mal bei der 1. Ableitung und Du versuchst es mit den nächsten selber, okay?

[mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{a}*e^{a-x} [/mm] \ = \  [mm] \bruch{1}{a}*x*e^{a-x}$ [/mm]


Für die Ableitung benötigen wir hier sowohl die MBProduktregel als auch die MBKettenregel:

$u \ := \ [mm] \bruch{1}{a}*x$ $\Rightarrow$ [/mm]     $u' \ = \ [mm] \bruch{1}{a}$ [/mm]

$v \ = \ [mm] e^{a-x}$ $\Rightarrow$ [/mm]     $v' \ = \ [mm] e^{a-x}*(-1) [/mm] \ = \ [mm] -e^{a-x}$ [/mm]


Dies setzen wir nun in die entsprechende Formel ein:

[mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] \left(u*v\right)' [/mm] \ = \ u'*v+u*v' \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*e^{a-x}+\bruch{1}{a}*x*\left(-e^{a-x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*e^{a-x}*(1-x)$ [/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Diskussion einer Kurvenschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Mo 14.05.2007
Autor: lollipop

also ist dann die zweite ableitung f``a(x)=-1/a*e^(a-x)+1/a*e^(a-x)  ????
Bezug
                        
Bezug
Diskussion einer Kurvenschar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Mo 14.05.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

du hast einen Faktor und ein vorzeichen falsch:

[mm] f'(x)=\bruch{1}{a}e^{a-x}*(1-x) [/mm]

[mm] u=\bruch{1}{a}e^{a-x} [/mm]

[mm] u'=-\bruch{1}{a}e^{a-x} [/mm] das Vorzeichen - entsteht durch die Kettenregel

v=1-x

v'=-1

mache jetzt Produktenregel, du solltest jetzt deinen vergessenen Faktor und dein Vorzeichenfehler finden,

Steffi



Bezug
                        
Bezug
Diskussion einer Kurvenschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Mo 14.05.2007
Autor: lollipop

ich habe jetzt schon mal versucht die erste ableitung nach null aufzulösen aber irgendwie bekomme ich da immer nur x=1 raus...aber das ist ja falsch.
kannst du mir vielleicht nochmal helfen dabei?
dankeschön
Bezug
                                
Bezug
Diskussion einer Kurvenschar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Mo 14.05.2007
Autor: Steffi21

Hallo,


[mm] f'(x)=\bruch{1}{a}e^{a-x}(1-x) [/mm]

[mm] 0=\bruch{1}{a}e^{a-x}(1-x) [/mm]

ein Produkt wird zu Null, wenn einer der Faktoren zu Null wird:

1. Fall:
[mm] 0=\bruch{1}{a}e^{a-x}, [/mm] es gibt keine Lösung

2. Fall:
1-x=0
x=1, das hattest du schon

Steffi



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