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Hallo!
Ich kann mich nicht mehr ganz so gut an die Trigonometrischen Funktionen erinnern, kann mir bitte jemand sagen, ob meine Vermutungen/Lösungen richtig sind?
Also:
f(x)= cos x
g(x) = cos^2x
Von f weiß ich, dass sie y-achsensymmetrisch ist.
Um g auf Symmetrie zu überprüfen wende ich folgendes an:
1.) g(-x)=g(x)
[mm] (cos(-x))^2 [/mm] = [mm] (cosx)^2 [/mm] --> richtig
Zu den Nullstellen:
Die erste Nullstelle liegt bei Pi/2 vor. Die nächste bei 3/2Pi.
Ich bin mir nicht sicher, wie ich es für alle Nulstellen formulieren kann, vielleicht so:
x=Pi/2 *k
k E Z außer 2Z ???
Liegee ich da richtig???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella!
> Also:
> f(x)= cos x
> g(x) = cos^2x
>
> Von f weiß ich, dass sie y-achsensymmetrisch ist.
> Um g auf Symmetrie zu überprüfen wende ich folgendes an:
> 1.) g(-x)=g(x)
> [mm] (cos(-x))^2 [/mm] = [mm] (cosx)^2 [/mm] --> richtig
Genau, wegen der y-Achsensymmetrie von cos(x) gilt deine letzte Gleichung.
> Zu den Nullstellen:
> Die erste Nullstelle liegt bei Pi/2 vor. Die nächste bei
> 3/2Pi.
> Ich bin mir nicht sicher, wie ich es für alle Nulstellen
> formulieren kann, vielleicht so:
> x=Pi/2 *k
> k E Z außer 2Z ???
>
> Liegee ich da richtig???
Ja, das ist richtig, aber umständlich formuliert.
Zunächst einmal haben $f$ und $g$ dieselben Nullstellen, das aber nur nebenbei bemerkt.
Richtig ist, dass [mm] $x=\bruch{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $x=\bruch{3\pi}{2}$ [/mm] Nullstellen sind, und du hast ja bereits selbst bemerkt, dass [mm] $x=\bruch{\pi}{2}*k$ [/mm] nicht für gerade $k$ gilt. "Nicht für gerade $k$" heißt aber für "ungerade $k$" und ungerade $k$ kannst du elegant schreiben zu $k=2n+1$ mit [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dieses eingesetzt in deine Formel ergibt:
[mm] $x=\bruch{\pi}{2}*k=\bruch{\pi}{2}*(2n+1)=\bruch{2n\pi}{2}+\bruch{\pi}{2}=n*\pi+\bruch{\pi}{2}$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Allerdings würde ich diese Formel lieber so finden:
Du überlegst dir zunächst, mit welcher Periode $p$ die Nullstellen (das gleiche gilt natürlich auch für Extremstellen, Wendestellen etc.) auftreten. Deine beiden Beispielnullstellen oben waren ja "benachbart", und da sie den Abstand [mm] $\pi$ [/mm] haben, haben wir eine Periode von [mm] $p=\pi$.
[/mm]
Jetzt nimm' dir eine beliebige Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] her, der Einfachheithalber vielleicht eine aus dem Hauptbereich des Kosinus [mm] $[0;2\pi[$, [/mm] ich nehme mal [mm] $x_0=\bruch{\pi}{2}$.
[/mm]
Nun haben alle Nullstellen diese Form:
[mm] $x_k=x_0+p*k$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
also in deinem speziellen Fall
[mm] $x_k=\bruch{\pi}{2}+\pi*k$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$ [/mm] (das ist das gleiche wie oben).
Viele Grüße,
Marc
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