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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:31 Do 19.03.2009 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Sei $f:(x,y,z) [mm] \rightarrow [/mm] f(x,y,z)$ ein Skalarfeld und $ [mm] \vec [/mm] v: (x,y,z) [mm] \rightarrow \vec [/mm] v(x,y,z)$ ein Vektorfeld.
Beweisen Sie die Folgenden Identitäten.
a) $div(f* [mm] rot\vec [/mm] v)=grad f * rot [mm] \vec [/mm] v$
b)$rot(f* [mm] \vec [/mm] v)=(grad f) [mm] \times \vec [/mm] v+f*rot [mm] \vec [/mm] v$
c)$div(grad f [mm] \times [/mm] grad g)=0$
d)$ rot(rot [mm] \vec [/mm] v)=grad(div [mm] \vec v)-\begin{pmatrix} Laplace v_{1} \\ Laplace v_{2} \\ Laplace v_{3} \end{pmatrix}$ [/mm] |
Folgendes hab ich bis jetzt:
[mm] a)$(f(v_{3,y}-v_{2,z}))_{x}+(f(v_{1,z}-v_{3,x}))_{y}+(f(v_{2,x}-v_{1,y}))_{z} [/mm] = [mm] f_{x}(v_{3,y}-v_{2,z})+f_{y}(v_{1,z}-v_{3,x})+f_{z}(v_{2,x}-v_{1,y})$
[/mm]
b)$ [mm] rot(\begin{pmatrix} \partial x \\ \partial y \\ \partial z \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} fv_{1} \\ fv_{2} \\ fv_{3} \end{pmatrix})$
[/mm]
[mm] c)$f_{xy}g_{xz}-f_{xz}g_{xy}+f_{yz}g_{xy}-f{xy}g_{yz}+f_{xz}g_{yz}-f_{yz}g_{xz}=0$
[/mm]
[mm] d)$\begin{pmatrix} v_{2,xy}-v_{1,yy}-v_{1,zz}+v_{3,xz} \\ v_{3,yz}-v_{2,zz}-v_{2,xx}+v_{1,xy} \\ v_{1,xz}-v-{3,xx}-v_{3,yy}+v_{2,yz} \end{pmatrix}$
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen und danke jetzt schon mal
lg
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> Sei [mm]f:(x,y,z) \rightarrow f(x,y,z)[/mm] ein Skalarfeld und [mm]\vec v: (x,y,z) \rightarrow \vec v(x,y,z)[/mm]
> ein Vektorfeld.
> Beweisen Sie die Folgenden Identitäten.
> a) [mm]div(f* rot\vec v)=grad f * rot \vec v[/mm]
> b)[mm]rot(f* \vec v)=(grad f) \times \vec v+f*rot \vec v[/mm]
>
> c)[mm]div(grad f \times grad g)=0[/mm]
> d)[mm] rot(rot \vec v)=grad(div \vec v)-\begin{pmatrix} Laplace v_{1} \\ Laplace v_{2} \\ Laplace v_{3} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Folgendes hab ich bis jetzt:
Hallo,
es wäre jedenfalls für mih alles leichter zu verfolgen, würdest Du auch noch Zwischenschritte spendieren.
div(f* [mm] rot\vec [/mm] v)= ...=
> a)[mm](f(v_{3,y}-v_{2,z}))_{x}+(f(v_{1,z}-v_{3,x}))_{y}+(f(v_{2,x}-v_{1,y}))_{z} = f_{x}(v_{3,y}-v_{2,z})+f_{y}(v_{1,z}-v_{3,x})+f_{z}(v_{2,x}-v_{1,y})[/mm]
[mm] =\vektor{f_x\\f_y\\f_z}* \vektor{...\\...\\...}= [/mm] grad f * rot [mm] \vec [/mm] v
>
> b)[mm] rot(\begin{pmatrix} \partial x \\ \partial y \\ \partial z \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} fv_{1} \\ fv_{2} \\ fv_{3} \end{pmatrix})[/mm]
Das ist doch mehrfacher Quatsch:
rot(f* [mm] \vec [/mm] v)= rot [mm] \begin{pmatrix} fv_{1} \\ fv_{2} \\ fv_{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \partial x \\ \partial y \\ \partial z \end{pmatrix} \red{\cross} \begin{pmatrix} fv_{1} \\ fv_{2} \\ fv_{3} \end{pmatrix}= [/mm] ...
Nun führe das Kreuzprodukt und anschließend die partiellen Ableitungen aus.
> c)[mm]f_{xy}g_{xz}-f_{xz}g_{xy}+f_{yz}g_{xy}-f{xy}g_{yz}+f_{xz}g_{yz}-f_{yz}g_{xz}=0[/mm]
Ich sehe keinen Hinweis darauf, was g darstellen soll.
>
> d)[mm]\begin{pmatrix} v_{2,xy}-v_{1,yy}-v_{1,zz}+v_{3,xz} \\ v_{3,yz}-v_{2,zz}-v_{2,xx}+v_{1,xy} \\ v_{1,xz}-v-{3,xx}-v_{3,yy}+v_{2,yz} \end{pmatrix}[/mm]
Wenn dies richtig ist, was ich jetzt nicht prüfe, da ich mit Stift und Papier alles selbst machen müßte, dann könntest Du jetzt die zweite Seite der Gleichung nehmen, und das mal ausrechnen und schauen, ob dasselbe herauskommt.
Gruß v. Angela
> Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen und danke jetzt
> schon mal
>
> lg
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