Divergente Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Di 08.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand erklären warum die obige Reihe divergiert?
die Folge [mm] a_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] ist ja eine Nullfolge und konvergiert gegen Null.
Aber warum divergiert die Reihe????
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo,
Fred hatte dazu mal einen, wie ich fand, wunderbaren Beweis gezeigt:
Sei [mm] s_n:=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}
[/mm]
Dann ist [mm] s_{2n}=s_n+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}\ge{}s_n+n*\frac{1}{2n}=s_n+\frac{1}{2}
[/mm]
Angenommen [mm] s_n [/mm] konvergiert gegen den Grenzert s. Dann folgt die Ungleichung [mm] s\ge{s}+\frac{1}{2}.
[/mm]
Subtraktion von s liefert [mm] 0\ge\frac{1}{2} \Rightarrow Widerspruch\Rightarrow s_n [/mm] ist divergent.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Di 08.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
supi. danke :-D
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Hallo Ali,
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm]
> Hallo,
>
> kann mir jemand erklären warum die obige Reihe
> divergiert?
>
> die Folge [mm]a_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] ist ja eine Nullfolge und
> konvergiert gegen Null.
>
> Aber warum divergiert die Reihe????
Eine Beobachtung: [mm] \bruch{1}{\blue{1}}>\bruch{1}{2},\;\; \bruch{1}{\blue{2}}+\bruch{1}{\blue{3}}\ge\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2},\;\; \bruch{1}{\blue{4}}+\bruch{1}{\blue{5}}+\bruch{1}{\blue{6}}+\bruch{1}{\blue{7}}\ge\bruch{1}{8}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{8}=\bruch{1}{2}\;\;\;\cdots
[/mm]
allgemeiner: [mm] \summe_{k=2^i}^{2^{i+1}-1}\bruch{1}{k}>\summe_{k=2^i}^{2^{i+1}-1}\bruch{1}{2^{i+1}}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Und damit kannst Du nun die unendliche harmonische Reihe umschreiben zu einer unendlichen Summierung von Summanden, von denen jeder [mm] >\tfrac{1}{2} [/mm] ist:
[mm] \lim_{n\to\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=0}^{n}\summe_{k=2^i}^{2^{i+1}-1}\bruch{1}{k}>\lim_{n\to\infty}\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{2}
[/mm]
> Danke schonmal.
Grüße
reverend
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