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Hallo,
ich hätte da mal ne Frage: Ne Lösung wär super, weil ich auch mitm Ansatz nicht weiterkomm:
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Formulieren sie mit Hilfe der Quantorenschreibweise das Gegenteil der Konvergenzbedingung und zeigen sie damit, dass diese Folgen divergieren:
[mm] x_{n} [/mm] = r [mm] (-1)^{n} [/mm] mit (r [mm] \not= [/mm] 0) , [mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{ 2^{n}}
[/mm]
Bitte um Hilfe
Danke im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 So 28.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Mario!
Die Verneinung von solchen komplizierten Aussagen mit Quantoren folgt einem einfachen Schema (Sei P eine Aussage in Abhängigkeit von x):
[mm] \neg \exists x. P(x) \gdw \forall x. \neg P(x)[/mm]
[mm] \neg \forall x. P(x) \gdw \exists x. \neg P(x)[/mm]
Jetzt musst du noch wissen, dass folgende Vereinbarungen gelten (M Menge):
[mm] \forall x \in M. P(x) \gdw \forall x. (x \in M \to P(x))[/mm]
[mm] \exists x \in M. P(x) \gdw \exists x. (x \in M \wedge P(x))[/mm]
Das ist (1. Zeile) folgendermaßen zu interpretieren:
Anstatt zu sagen, dass:
Für alle Elemente von M gilt P(x).
sagt man:
Für alle mathematischen Objekte x gilt, dass sie, wenn sie Elemente von M sind, die Bedingung P(x) erfüllen.
Jetzt schreibe ich nochmal die Konvergenzbedingung für eine Folge auf:
[mm] \exists g \in \IR. \forall \varepsilon \in \IR^{+}. \exists N_{0} \in \IN. \forall n \in (N_{0}, N_{0} + 1, ...). |f(n) - g| < \varepsilon[/mm]
Die Punkte in der Schreibweise heißen immer, dass der Wirkungsbereich des Quantors maximal ist.
Wir verneinen nach den obigen Regeln:
[mm] \neg ( \exists g \in \IR. \forall \varepsilon \in \IR^{+}. \exists N_{0} \in \IN. \forall n \in (N_{0}, N_{0} + 1, ...). |f(n) - g| < \varepsilon)[/mm]
[mm] \gdw \neg ( \exists g.(g \in \IR \wedge( \forall \varepsilon.( \varepsilon \in \IR^{+} \to ( \exists N_{0}.( N_{0} \in \IN \wedge( \forall n.(n \in (N_{0}, N_{0} + 1, ...) \to (|f(n) - g| < \varepsilon)))))))))[/mm]
[mm] \gdw \forall g. \neg (g \in \IR \wedge( \forall \varepsilon.( \varepsilon \in \IR^{+} \to ( \exists N_{0}.( N_{0} \in \IN \wedge( \forall n.(n \in (N_{0}, N_{0} + 1, ...) \to (|f(n) - g| < \varepsilon))))))))[/mm]
Jetzt müssen wir die Tautologie [mm] \neg (A \wedge B) \gdw A \to \neg B [/mm]ausnützen:
[mm] \gdw \forall g.g \in \IR \to \neg ( \forall \varepsilon.( \varepsilon \in \IR^{+} \to ( \exists N_{0}.( N_{0} \in \IN \wedge( \forall n.(n \in (N_{0}, N_{0} + 1, ...) \to (|f(n) - g| < \varepsilon)))))))[/mm]
...
und so geht dass dann immer weiter, bis sich das [mm] \neg [/mm] durch den ganzen logischen Ausdruck durchgefressen hat. Dann kannst du zur Übersichtlichkeit wieder die abkürzenden Schreibweise einführen. Viel Erfolg! Du kannst Zwischenergebnisse hier posten.
Dass die Folgen divergieren, kannst du bei 1. durch die Fallunterscheidung
g = r oder g = - r oder (g [mm] \not= [/mm] r [mm] \wedge [/mm] g [mm] \not= [/mm] -r)
zeigen und bei 2. durch die Konvergenz gegen unendlich.
Liebe Grüße
Clemens
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Wenn ich mir das so anschau, dann ist das schon logisch, aber weiter komm ich trotzdem nicht.
Ich bin einfach zu blöd für Mathe.... Naja egal, trotzdem danke für die Hilfe, muss ich morgen halt dann doch abschreiben 
Danke nochmal.
Gruß Mario
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 So 28.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Mario!
Für Mathe ist niemand zu blöd. Man muss aber früh genug anfangen, sich damit auseinanderzusetzen; ansonsten kriegt man Probleme.
Wenn du willst, kannst du zu meiner Antwort eine Frage stellen. Ich kann sie heute nicht mehr beantworten, aber vielleicht jemand anderes.
Gruß
Clemens
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