Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man zeige die Divergenz der Folge
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n^2}{n+4}
[/mm]
n [mm] \in \IN [/mm] |
[mm] a_n =\frac{n^2}{n+4}=\frac{n}{1+4/n}
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} \frac{n}{1+4/n}
[/mm]
da [mm] lim_{n->\infty} [/mm] 4/n =0 , 1+4/n< 2 für n>4
[mm] \frac{n}{1+4/n}>n/2
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] n/2 = [mm] \infty
[/mm]
Jedoch sagte man mir, dass das so nicht reicht.#Man müsse zwéigen
[mm] \frac{n^2}{n+4}> [/mm] K
0 > -4K [mm] -KN+n^2
[/mm]
[mm] n_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{k \pm \wurzel{k^2+16k}}{2}
[/mm]
[mm] (n-\frac{k + \wurzel{k^2+16k}}{2}) [/mm] *(n+ [mm] \frac{k - \wurzel{k^2+16k}}{2}) [/mm] >0
Wie gehts nunn weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich kommemtiere obiges nur mit: vergiss es.
Zeigen sollst Du: zu jedem K >0 ex. ein [mm] N_K \in \IN [/mm] mit:
[mm] a_n [/mm] >K für n> [mm] N_K.
[/mm]
Das bekommst Du leicht hin, wenn Du Dir vorher überlegst, dass gilt:
[mm] a_n \ge \bruch{n}{2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 4.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Ich kommemtiere obiges nur mit: vergiss es.
Wie meinst du das?, Die Ansätze sind vom Tutor so verbal formuliert worden.
> Zeigen sollst Du: zu jedem K >0 ex. ein [mm]N_K \in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]a_n[/mm] >K für n> [mm]N_K.[/mm]
>
> Das bekommst Du leicht hin, wenn Du Dir vorher überlegst,
> dass gilt:
>
> [mm]a_n \ge \bruch{n}{2}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 4.
Das versteh ich nicht.
Ich habe mir nur überlegt 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1/4
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Hiho,
> > Ich kommemtiere obiges nur mit: vergiss es.
> Wie meinst du das?, Die Ansätze sind vom Tutor so verbal
> formuliert worden.
Der erste Kommentar, der mir dazu einfiel, war: Das machts nicht besser.
Aber um es diplomatisch auszudrücken:
Die Aussagen deines Tutors (sofern du sie wirklich korrekt wiedergegeben hast), sind nicht falsch, ganz im Gegenteil.
Das heißt ja aber nicht, dass es nicht auch einfacher geht.
Und da setzt Freds Vorschlag an.
Anstatt direkt zu zeigen, dass [mm] $\forall\, K\in\IN\;\exists\, n\in\IN\;:\quad a_n [/mm] > K$ kann man ja (wenn möglich) auch zeigen: [mm] $\forall\, K\in\IN\;\exists\, n\in\IN\;:\quad a_n [/mm] > [mm] b_n [/mm] > K$
Und wenn nun auch noch die beiden Ungleichungen [mm] $a_n [/mm] > [mm] b_n$ [/mm] sowie [mm] $b_n [/mm] > K$ leichter zu zeigen sind, als die Ursprungsungleichung, sind alle glücklich.
> Das versteh ich nicht.
> Ich habe mir nur überlegt 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 1/4
Das ist offensichtlich falsch, wenn [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] zu zeigen ist.
Also halte dich an Freds Vorschlag und zeige erst:
[mm] $a_n \ge \bruch{n}{2}$ [/mm] und dann erwähne die (offensichtliche) Aussage [mm] $\forall\, K\in\IN\;\exists\, n\in\IN\;:\quad \bruch{n}{2} [/mm] > K$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
hi
Das hab ich doch schon im ersten Beitrag gezeigt.
> $ [mm] a_n =\frac{n^2}{n+4}=\frac{n}{1+4/n} [/mm] $
> $ [mm] lim_{n->\infty} \frac{n}{1+4/n} [/mm] $
> da $ [mm] lim_{n->\infty} [/mm] $ 4/n =0 , 1+4/n< 2 für n>4
> $ [mm] \frac{n}{1+4/n} [/mm] < n/2 $ für n> 4
Auch wenns komplizierter ist. Wie würde man theoretisch da noch weiter machen?
$ [mm] (n-\frac{k + \wurzel{k^2+16k}}{2}) [/mm] $ *(n+ $ [mm] \frac{k - \wurzel{k^2+16k}}{2}) [/mm] $ >0
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Hiho,
> hi
> Das hab ich doch schon im ersten Beitrag gezeigt.
naja....
> > [mm]a_n =\frac{n^2}{n+4}=\frac{n}{1+4/n}[/mm]
>
> > [mm]lim_{n->\infty} \frac{n}{1+4/n}[/mm]
> > da [mm]lim_{n->\infty}[/mm] 4/n
> =0 , 1+4/n< 2 für n>4
Die Begründung ist einfach falsch, schlecht usw.
Nicht "da [mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{4}{n} [/mm] = 0$.... das ist als Begründung einfach blödsinn.
Aber deine Hauptaussage [mm] "$1+\bruch{4}{n}< [/mm] 2$ für n>4" stimmt.
Und verwende nächstemal doch bitte einfach den Formeleditor für ALLE Formeln, dann sieht man auch, was du wirklich meintest.
> Auch wenns komplizierter ist. Wie würde man theoretisch da
> noch weiter machen?
> [mm](n-\frac{k + \wurzel{k^2+16k}}{2})[/mm] *(n+ [mm]\frac{k - \wurzel{k^2+16k}}{2})[/mm]
> >0
Na du musst halt begründen, warum für jedes k es ein n gibt, so dass diese Ungleichung gilt. Das ist aber auch nicht schwierig. (Was passiert denn, wenn n sehr gross wird mit den Klammertermen).
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 19.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Die Begründung ist einfach falsch, schlecht usw.
Nicht "da $ [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{4}{n} [/mm] = 0 $.... das ist als Begründung einfach blödsinn.
> Aber deine Hauptaussage "$ [mm] 1+\bruch{4}{n}< [/mm] 2 $ für n>4" stimmt.
Kann es so falsch sein, wenn das richtige rauskommt?
Wie würdest du denn die Aussage beweisen``?
> (Was passiert denn, wenn n sehr gross wird mit den Klammertermen)
Kommt doch drauf an wie k gewählt wird oder?
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Hiho,
> Kann es so falsch sein, wenn das richtige rauskommt?
ja! Aus was Falschem kann man ALLES folgern.
Du meinst zwar sicherlich das Richtige, aber deine Folgerungen sind unsauber aufgeschrieben.
Korrekt ist natürlich: Aus [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = 0 $ folgt sofort [mm] $\exists\,n_0\in\IN:\;1 [/mm] + [mm] a_n [/mm] < 2$ für $n> [mm] n_0$ [/mm] und in deinem Fall ist [mm] $n_0 [/mm] = 4$
Für $1+ [mm] \bruch{4}{n} [/mm] < 2$ braucht man aber nicht unbedingt den Grenzwert 
Aber sei es wie es sei.
> Wie würdest du denn die Aussage beweisen''?
Einfache Umformung, oder direkt hinschreiben: Es gilt $1 + [mm] \bruch{4}{n} [/mm] < 2$ für $n>4$.
Willst du es beweisen, forme einfach äquivalent um.
$1 + [mm] \bruch{4}{n} [/mm] < 2$
[mm] $\gdw [/mm] n + 4 < 2n$
[mm] $\gdw [/mm] 4 < n$
> > (Was passiert denn, wenn n sehr gross wird mit den
> Klammertermen)
> Kommt doch drauf an wie k gewählt wird oder?
Ja, aber du wählst dein n ja NACH der Wahl von k.
D.h. du kannst n immer groß genug wählen (und sicherlich in Abhängigkeit von k), bspw.
$ n [mm] \ge \frac{k + \wurzel{k^2+16k}}{2} [/mm] + 1 $
Dann gilt was?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Do 19.01.2012 | | Autor: | sissile |
danke. ah okay, dass hab ich jetzt verstanden.
Also haben wir nun
$ [mm] a_n \ge \bruch{n}{2} [/mm] $ für n > 4
> und dann erwähne die (offensichtliche) Aussage $ [mm] \forall\, K\in\IN\;\exists\, n\in\IN\;:\quad \bruch{n}{2} [/mm] > K $
da die Natürlichen Zahlen nicht beschränkt sind oder wie?
LG,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genauer zu jedem [mm] K\in \IN [/mm] gibt es ein [mm] N_0 [/mm] so dass für alle [mm] a_n [/mm] mit [mm] n>N_0 [/mm] gilt [mm] a_n>K [/mm] hier gilt das für [mm] N_0=K [/mm] denn [mm] a_nN_0
[/mm]
dazu natürlich der Beweis [mm] a_n
am anfang sollte dir klar sein dass Divergenz genau heisst
[mm] a_n [/mm] divergiert falls es zu jedem [mm] K\in \IN [/mm] gibt es ein [mm] N_0 [/mm] so dass für alle [mm] a_n [/mm] mit [mm] n>N_0 [/mm] gilt [mm] a_n>K
[/mm]
das wird sehr salopp auch geschrieben [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}0\infty [/mm] aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] ist in Wirklichkeit durch obigen Satz definiert.
Gruss leduart
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