Divergenz Vektor < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie div [mm] \vec{F} [/mm] zu [mm] \vec{F} [/mm] = [mm] cos(x)*sin(y)\vec{a}+sin(x)*cos(y)\vec{b} [/mm] , [mm] (\vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sind die Einheitsvektoren).
Mein Ansatz:
der Operator [div] erzeugt aus einem Vektorfeld ein skalares Feld.
[mm] div\vec{F}(x,y)=\vec{V}*\vec{F}(x,y)=\bruch{\partial}{\partial*x},\bruch{\partial}{\partial*y}*\vektor{Fx \\ Fy}=\bruch{\partial}{\partial*x}+\bruch{\partial}{\partial*y} [/mm] |
[mm] \vec{F} [/mm] = [mm] cos(x)*sin(y)\vec{a}+sin(x)*cos(y)\vec{b}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial*x}=- \vec{a}*sin(x)*sin(y)+ \vec{b}*cos(x)*cos(y)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial*y}= \vec{a}*cos(x)*cos(y)- \vec{b}*sin(x)*sin(y)
[/mm]
Erste Frage da es Einheitsvektoren sind und die den Betrag 1 normalerweise, kann ich hier sagen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}=1?
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial*x}=- [/mm] 1*sin(x)*sin(y)+ 1*cos(x)*cos(y)
[mm] \bruch{\partial}{\partial*y}= [/mm] 1*cos(x)*cos(y)- 1*sin(x)*sin(y)
Zweite Frage jetzt müsste ich ja rechnen... [mm] \bruch{\partial}{\partial*x}*Fx [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial*}*Fy [/mm] oder ?
(cos(x)*sin(y)+sin(x)*cos(y))*(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(y))
=cos(x+y) sin(x+y)
Schönen guten Abend
Stimmen meine Berechnungen?
Mit freundlichen Grüßen
J.dean
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Do 18.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Berechnen Sie div [mm]\vec{F}[/mm] zu [mm]\vec{F}[/mm] =
> [mm]cos(x)*sin(y)\vec{a}+sin(x)*cos(y)\vec{b}[/mm] , [mm](\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}[/mm] sind die Einheitsvektoren).
>
> Mein Ansatz:
>
> der Operator [div] erzeugt aus einem Vektorfeld ein
> skalares Feld.
>
> [mm]div\vec{F}(x,y)=\vec{V}*\vec{F}(x,y)=\bruch{\partial}{\partial*x},\bruch{\partial}{\partial*y}*\vektor{Fx \\ Fy}=\bruch{\partial}{\partial*x}+\bruch{\partial}{\partial*y}[/mm]
Sind [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} \in \IR^2?
[/mm]
Für die Divergenz gilt
[mm] divF(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x}F(x,y)+\bruch{\partial}{\partial y}F(x,y)
[/mm]
> [mm]\vec{F}[/mm] = [mm]cos(x)*sin(y)\vec{a}+sin(x)*cos(y)\vec{b}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*x}=- \vec{a}*sin(x)*sin(y)+ \vec{b}*cos(x)*cos(y)[/mm]
Das ist doch [mm] F_x
[/mm]
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*y}= \vec{a}*cos(x)*cos(y)- \vec{b}*sin(x)*sin(y)[/mm]
Und das ist [mm] F_y
[/mm]
> Erste Frage da es Einheitsvektoren sind und die den Betrag
> 1 normalerweise, kann ich hier sagen [mm]\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}=1?[/mm]
Nein a und b sind nicht 1 sondern Vektoren mit|a|=|b|=1
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*x}=-[/mm] 1*sin(x)*sin(y)+
> 1*cos(x)*cos(y)
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*y}=[/mm] 1*cos(x)*cos(y)-
> 1*sin(x)*sin(y)
>
> Zweite Frage jetzt müsste ich ja rechnen...
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*x}*Fx[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*}*Fy[/mm] oder ?
Also wenn [mm] F_x=\bruch{\partial F}{\partial x} [/mm] ist, dann ist [mm] \bruch{\partial F_x}{\partial x}=F_{xx} [/mm] und das muss nicht berechnet werden.
> (cos(x)*sin(y)+sin(x)*cos(y))*(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(y))
>
> =cos(x+y) sin(x+y)
>
> Schönen guten Abend
>
>
> Stimmen meine Berechnungen?
>
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.dean
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Daraus schlussfolgere ich das ...
[mm] F_{x}=\bruch{\partial}{\partial\cdot{}x}=- \vec{a}\cdot{}sin(x)\cdot{}sin(y)+ \vec{b}\cdot{}cos(x)\cdot{}cos(y)
[/mm]
[mm] F_{y}= \bruch{\partial}{\partial\cdot{}y}= \vec{a}\cdot{}cos(x)\cdot{}cos(y)- \vec{b}\cdot{}sin(x)\cdot{}sin(y)
[/mm]
Das das schon die Ergebnisse sind und der Rest den ich gemacht habe schwachsinn war habe ich recht? |
"Sind [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} \in \IR^{2} [/mm] ?" Da bin ich mir nicht sicher, da sie in Kombination mit Sinus und Cosinus vorkommen und die ja Elementar Funktionen sind...
Ist meine Vermutung bezüglich des Ergebnisses Richtig ?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 19.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Daraus schlussfolgere ich das ...
>
> [mm]F_{x}=\bruch{\partial}{\partial\cdot{}x}=- \vec{a}\cdot{}sin(x)\cdot{}sin(y)+ \vec{b}\cdot{}cos(x)\cdot{}cos(y)[/mm]
Du solltest Dir diese falsche Notation schnell wieder abgewöhnen. Was Du meinst sieht richtig so aus:
[mm] $\vec{F}_{x}=\frac{\partial\vec{F}}{\partial x}=\vec{b}\cdot\cos x\cos y-\vec{a}\cdot\sin x\sin [/mm] y$
>
> [mm]F_{y}= \bruch{\partial}{\partial\cdot{}y}= \vec{a}\cdot{}cos(x)\cdot{}cos(y)- \vec{b}\cdot{}sin(x)\cdot{}sin(y)[/mm]
>
> Das das schon die Ergebnisse sind und der Rest den ich
> gemacht habe schwachsinn war habe ich recht?
Du hast selbst am Anfang geschrieben:
"der Operator [div] erzeugt aus einem Vektorfeld ein skalares Feld."
Das sollte Deine Frage beantworten.
>
>
> "Sind [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b} \in \IR^{2}[/mm]
> ?" Da bin ich mir nicht sicher, da sie in Kombination mit
> Sinus und Cosinus vorkommen und die ja Elementar Funktionen
> sind...
Der Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und Einheitsvektoren ist mir neu, aber davon abgesehen weiß ich auch nicht was das nun über [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$ aussagen soll ob.
Es ist wichtig zu wissen, ob die Einheitsvektoren konstant oder koordinatenabhängig sind, denn dann müssten sie mit abgeleitet werden.
>
>
> Ist meine Vermutung bezüglich des Ergebnisses Richtig ?
Nein, immernoch nicht.
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
> J.DEan
>
>
>
>
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Hey,
Also die Divergenz ist die Ableitung eines Vektorfeldes. Als Ergebnis erhält man ein Skalarfeld.
Die Frage ist wie schreibe ich die Lösung auf:
So:
[mm] \vec{F}_{x}=\frac{\partial\vec{F}}{\partial x}=\vec{b}\cdot\cos (x)\cos (y)-\vec{a}\cdot\sin (x)\sin(y)
[/mm]
[mm] \vec{F}_{y}=\frac{\partial\vec{F}}{\partial y}=\vec{a}\cdot\cos (x)\cos (y)-\vec{b}\cdot\sin (x)\sin(y) [/mm]
oder so:
[mm] \vec{F}_{(x,y)}=\pmat{ \vec{b}\cdot\cos (x)\cos (y)-\vec{a}\cdot\sin (x)\sin(y)
\\ \vec{a}\cdot\cos (x)\cos (y)-\vec{b}\cdot\sin (x)\sin(y)
} [/mm] |
Sind beide Darstellungsformen in Ordnung?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hey,
>
> Also die Divergenz ist die Ableitung eines Vektorfeldes.
> Als Ergebnis erhält man ein Skalarfeld.
>
> Die Frage ist wie schreibe ich die Lösung auf:
>
> So:
>
> [mm]\vec{F}_{x}=\frac{\partial\vec{F}}{\partial x}=\vec{b}\cdot\cos (x)\cos (y)-\vec{a}\cdot\sin (x)\sin(y)[/mm]
>
> [mm]\vec{F}_{y}=\frac{\partial\vec{F}}{\partial y}=\vec{a}\cdot\cos (x)\cos (y)-\vec{b}\cdot\sin (x)\sin(y)[/mm]
>
> oder so:
>
> [mm]\vec{F}_{(x,y)}=\pmat{ \vec{b}\cdot\cos (x)\cos (y)-\vec{a}\cdot\sin (x)\sin(y)
\\ \vec{a}\cdot\cos (x)\cos (y)-\vec{b}\cdot\sin (x)\sin(y)
}[/mm]
>
Weder noch, das Ergebnis ist ja ein Skalar und die Divergenz ist, wie schon geschrieben, das Ergbnis der Operation
div [mm] F(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x}F(x,y)+\bruch{\partial}{\partial y}F(x,y)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Ich glaub jetzt habe ich es....
[mm] div\vec{F}_{(x,y)}=\bruch{\partial}{\partial x}\vec{F}_{(x,y)}+\bruch{\partial}{\partial y}\vec{F}_{(x,y)}
[/mm]
[mm] div\vec{F}_{(x,y)}=(\vec{a}+\vec{b})(cos(x)*cos(y))-(\vec{a}+\vec{b})(sin(x)*sin(y)) [/mm] |
Das müsste jetzt aber das passende Ergebnis sein oder?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:16 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
dann noch ausklammern und ein Additionstheorem benutzten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:25 Fr 19.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist mit und ohne ausklammern falsch.
die [mm] div(\vektor{F1 \\ F2})=\bruch{\partial F1}{\partial x}+\bruch{\partial F2}{\partial y}
[/mm]
und wie schon geschrieben ein Skalar.
statt F1 und F2 wird auch öfter [mm] F_x, F_y [/mm] geschrieben, nicht in der Bedeutung als ableitung nach x, sondern [mm] F_x=x-Komponente [/mm] von vec{F}
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | [mm] div\vec{F}_{(x,y)}=(\vec{a}+\vec{b})(cos(x)\cdot{}cos(y))-(\vec{a}+\vec{b})(sin(x)\cdot{}sin(y))
[/mm]
Additionstheoreme: [mm] cos(x\pm y)=(cos(x)\cdot{}cos(y))\pm(sin(x)\cdot{}sin(y))
[/mm]
Da stellt sich die Frage wie es richtig aufgeschrieben werden muss:
so:
[mm] div\vec{F}_{(x,y)}= (\vec{a}+\vec{b})*cos(x \pm{y})
[/mm]
oder so:
[mm] div\vec{F}_{(x,y)}= |\vec{a}+\vec{b}|*cos(x \pm{y}) [/mm] |
Welche Darstellungsform ist den mathematisch korrekt? (Vermutung keine von den Beiden)
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Fr 19.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn meine Korrektur gelesen?
du selbst schriebst doch, dass du einen skalar wllst, warum schreibst du einen Vektor?
[mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] haben nichts in der Darstellung zu suchen !
statt das mit den einheitsvektoren zu schreiben, schreb F als
[mm] \vektor{F_1 \\ F_2}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Jetzt bin ich verwirrt....
Also sieht die Lösung so aus:
[mm] div(\vektor{F1 \\ F2})=\bruch{\partial F1}{\partial x}+\bruch{\partial F2}{\partial y}
[/mm]
[mm] div(\vektor{F1 \\ F2})=\vektor{F_1 \\ F_2}*cos(x \pm{y})??? [/mm] |
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Fr 19.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schon wieder schreibst du einen Vektor hin????
schreib mal [mm] bruch{\partial F1}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial F2}{\partial y} [/mm] hin. beides sind Skalare. jetzt addier sie, fertig.
wie du auf [mm] cos(x\pm [/mm] y) kommst weiss ich nicht, wenn dann kann es ja nur ein vorzeichen sein.
aber vor einem gesamtergebnis poste bitte die 2 einzelnen.
Hilfreich ist auch, wenn du F immer wieder aufschreibst, damit man danach nicht endllos rumscrollen mus um dein ergebnis zu kontrollieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | [mm] div\vec{F} [/mm] zu [mm] \vec{F}=cos(x)\cdot{}sin(y)\vec{a}+sin(x)\cdot{}cos(y)\vec{b}
[/mm]
kann ich hier die Vektoren [mm] \vec{(a)} [/mm] und [mm] \vec{(b)} [/mm] hier schon weg lassen?
div [mm] F1=\frac{\partial F1}{\partial x}=\red{\vec{(b)}}\cdot\cos (x)\cos(y)-\red{\vec{(a)}}\cdot\sin (x)\sin(y) [/mm]
div [mm] F2=\frac{\partial F2}{\partial y}=\red{\vec{(a)}}\cdot\cos (x)\cos(y)-\red{\vec{(b)}}\cdot\sin (x)\sin(y) [/mm] |
[mm] div(\vektor{F1 \\ F2})=\bruch{\partial F1}{\partial x}+\bruch{\partial F2}{\partial y}
[/mm]
[mm] div(\vektor{F1 \\ F2})=(cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y))+(cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y))
[/mm]
=2(cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y))
=2cos(x+y)
Das Ergebnis müsste jetzt aber passen?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Fr 19.04.2013 | | Autor: | notinX |
> [mm]div\vec{F}[/mm] zu
> [mm]\vec{F}=cos(x)\cdot{}sin(y)\vec{a}+sin(x)\cdot{}cos(y)\vec{b}[/mm]
>
> kann ich hier die Vektoren [mm]\vec{(a)}[/mm] und [mm]\vec{(b)}[/mm] hier
> schon weg lassen?
>
> div [mm]F1=\frac{\partial F1}{\partial x}=\red{\vec{(b)}}\cdot\cos (x)\cos(y)-\red{\vec{(a)}}\cdot\sin (x)\sin(y)[/mm]
>
> div [mm]F2=\frac{\partial F2}{\partial y}=\red{\vec{(a)}}\cdot\cos (x)\cos(y)-\red{\vec{(b)}}\cdot\sin (x)\sin(y)[/mm]
Das ist nach wie vor falsch. Die Divergenz ist eine skalare Größe! Solange auf der rechten Seite ein Vektor steht kann das nicht richtig sein. Davon abgesehen sind die Ableitungen auch noch falsch. Außerdem macht es keinen Sinn die Divergenz einer skalaren Funktion zu bilden. Das wäre dann einfach eine partielle Ableitung.
>
> [mm]div(\vektor{F1 \\ F2})=\bruch{\partial F1}{\partial x}+\bruch{\partial F2}{\partial y}[/mm]
Das sieht gut aus.
>
> [mm]div(\vektor{F1 \\ F2})=(cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y))+(cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y))[/mm]
>
> =2(cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y))
>
> =2cos(x+y)
Wie Du darauf kommst ist mir höchst schleierhaft. Die Divergenz ist so definiert:
$ [mm] \mathrm{div}\vektor{F_1 \\ F_2}=\bruch{\partial F_1}{\partial x}+\bruch{\partial F_2}{\partial y} [/mm] $
Leite also die erste Komponente des Vektors nach x ab, die zweite nach y und addiere beide.
>
>
> Das Ergebnis müsste jetzt aber passen?
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
> J.DEan
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Neue Lösung:
[mm] div(\vektor{F1 \\ F2})=-2(sin(x)*sin(y)
[/mm]
oder:
[mm] div(\vektor{F1 \\ F2})=cos(x+y)-cos(x-y) [/mm] |
Wie schauts jetzt aus?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 19.04.2013 | | Autor: | notinX |
> Neue Lösung:
>
>
> [mm]div(\vektor{F1 \\ F2})=-2(sin(x)*sin(y)[/mm]
Das stimmt auf jeden Fall.
>
> oder:
>
> [mm]div(\vektor{F1 \\ F2})=cos(x+y)-cos(x-y)[/mm]
Das habe ich nicht überprüft, ich wüsste aber auch nicht warum man diese Umformung (sofern sie überhaupt stimmt) machen sollte, denn der Ausgangsterm is wesentlich kompakter.
> Wie schauts jetzt
> aus?
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
> J.DEan
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Fr 19.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Die Umformung stimmt... Ein bisschen Übung im Umgang mit Additionstheoreme kann nicht schaden.
Vielen Dank für eure Hilfe
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
|
|
|
|
