Divergenz, alternierende Reihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Sa 28.01.2006 | | Autor: | freedom |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}*1/ \wurzel[n]{n} [/mm] |
Folgende Aufgabe muss ich auf absolute Konvergenz und Konvergenz untersuchen.
Das die Folge nicht absolut konvergent ist, habe ich mit dem Quotienkriterium nachgewiesen (soweit kein Problem).
In meiner Lösung zur Aufgabe steht nun, dass (-1)^(n+1)*1/ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] keine Nullfolge ist und den Grenzwert 1 hat. Daraus folgt dann anscheinend die Konvergenz.
Dass (-1)^(n+1)*1/ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] keine Nullfolge ist sehe ich auch auf den ersten Blick, aber folgt denn daraus bei alternierenden Folgen tatsächlich auch die Divergenz? schließlich ist jeder zweite Summand negativ!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:30 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
der Satz: "Konvergiert eine Reihe, so bilden ihre Glieder eine Nullfolge" gilt auch im Fall alternierender Folgenglieder.
Man sieht das recht schnell, wenn man das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen benutzt, nach dem eine Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn es zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_{0}\in\IN$ [/mm] gibt, so dass für [mm] $m>n\ge n_{0}$ [/mm] gilt:
[mm] $\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\epsilon$.
[/mm]
D.h. konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, [/mm] so liefert das Kriterium mit $m=n+1$ sofort für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_{0}$, [/mm] so dass für [mm] $m>n_{0}$ [/mm] gilt: [mm] $\left|a_{m}\right|<\epsilon$.
[/mm]
Also ist [mm] $(a_{n})$ [/mm] eine Nullfolge.
Bei diesem Beweis wurden keinerlei Forderungen an [mm] $(a_{n})$ [/mm] gestellt, d.h. der obige Satz gilt insbesondere für alternierende Folgen.
MFG,
Yuma
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