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Forum "Uni-Analysis" - Divergenz alternirender Reihen
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Divergenz alternirender Reihen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:27 Do 16.12.2004
Autor: BigN

Ich habe das mit Wurzel, Quotienten, Min., Maj. versucht zu loesen gimg leider nicht.

z.B. mit Quotientenkrit. bekomme ich am Ende 1  !!!



[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*(2n/(7n+10)) [/mm]


mit Leibniz hab ich doch eine mofa Folge mit lim 2/7 aber nicht o ??



Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003132&read=1&kat=Studium

        
Bezug
Divergenz alternirender Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:52 Do 16.12.2004
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich habe das mit Wurzel, Quotienten, Min., Maj. versucht zu
> loesen gimg leider nicht.
>  
> z.B. mit Quotientenkrit. bekomme ich am Ende 1  !!!
>  
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*(2n/(7n+10)) [/mm]
>  
>
> mit Leibniz hab ich doch eine mofa Folge mit lim 2/7 aber
> nicht o ??

Ob die mofa ist, habe ich jetzt gar nicht mehr gerechnet. Aber damit hast du im Prinzip die Lösung der Aufgabe, nur siehst du sie nicht:
Nach Folgerung 1.5.13 ([]http://www.math.hu-berlin.de/~ana14/html/node11.html) gilt:
Wäre [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*\frac{2n}{7n+10}[/mm] konvergent, so würde 1.5.13 implizieren:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=\frac{(-1)^n*2n}{7n+10}$ ($\forall [/mm] n [mm] \in \IN$) [/mm] muss eine Nullfolge sein (und damit insbesondere konvergent). Aber die so definierte Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist divergent (es gibt eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die gegen [mm] $\frac{2}{7}$ [/mm] konvergiert (nämlich [mm] $(a_{2k})_{k \in \IN}$) [/mm] und es gibt eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die gegen [mm] $\frac{-2}{7}$ [/mm] strebt (nämlich [mm] $(a_{2k-1})_{k \in \IN}$)). [/mm]
[Alternativ: Es genügt ja, zu zeigen, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] keine Nullfolge ist.
Wäre die so definierte Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge, so wäre auch die Folge [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $b_n:=|a_n|$ ($\forall [/mm] n [mm] \in \IN$) [/mm] eine Nullfolge. Es gilt aber:
[m]b_n=\frac{2n}{7n+10} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{2}{7}\not=0[/m]. Widerspruch!]

Also gilt: [mm] $a_n \stackrel{n \to \infty}{\not \!\! \longrightarrow}0$, [/mm] und daraus folgt wegen 1.5.13:
[mm]\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*\frac{2n}{7n+10}[/mm] divergent.

Viele Grüße,
Marcel

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