Divergenz bzw. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mi 16.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
| Aufgabe | | Für welche [mm] x\in\IR [/mm] konvergiert bzw. divergiert [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(2k)! (k)!}{(3k)!}*x^k [/mm] ??? |
Hi Leute,
Für das Quotientenkriterium gibts ja die Formel und ausgehend davon hab ich hier schon eingesetzt:
[mm] \bruch{2(k+1)! (k+1)!}{3(k+1)!}* \bruch{|x|^{k+1}}{|x|^{k}} *\bruch{(3k)!}{(2k)! (k)!} [/mm] (den letzten dieser Schritte verstehe ich nicht, wieso multipliziert man denn hier mit dem Kehrwert ?)
dann gehts weiter:
[mm] =\bruch{(2k+2)(2k+1)(k+1)}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)}*|x|* \bruch{\bruch{1}{k^3}}{\bruch{1}{k^3}}
[/mm]
weshalb wird denn mit [mm] {\bruch{1}{k^3}} [/mm] erweitert?...
[mm] ={\bruch{(2+\bruch{2}{k})(2+\bruch{1}{k})(1+\bruch{1}{k})}{(3+\bruch{3}{k})(3+\bruch{2}{k})(3+\bruch{1}{k})}}
[/mm]
und zum allerletzten schritt... wie kommt der überhaupt zu stande? wurde da gekürzt, zumindest hat der prof das gesagt, nur wie ging er da vor?
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Hallo hotsauce,
> Für welche [mm]x\in\IR[/mm] konvergiert bzw. divergiert
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(2k)! (k)!}{(3k)!}*x^k[/mm] ???
> Hi Leute,
>
>
> Für das Quotientenkriterium gibts ja die Formel und
> ausgehend davon hab ich hier schon eingesetzt:
>
> [mm] $\bruch{\red{[}2(k+1)\red{]}! (k+1)!}{\red{[3}(k+1)\red{]}!}* \bruch{|x|^{k+1}}{|x|^{k}} *\bruch{(3k)!}{(2k)! (k)!}$ [/mm]
Hier sind doch Klammern falsch, darauf musst du peinlich genau achten, sonst wird alles sinnlos!
> (den letzten dieser Schritte verstehe ich nicht, wieso
> multipliziert man denn hier mit dem Kehrwert ?)
Mensch!
Es ist doch [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k}=a_{k+1}\cdot{}\frac{1}{a_k}$
[/mm]
>
> dann gehts weiter:
>
> [mm]=\bruch{(2k+2)(2k+1)(k+1)}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)}*|x|* \bruch{\bruch{1}{k^3}}{\bruch{1}{k^3}}[/mm]
>
> weshalb wird denn mit [mm]{\bruch{1}{k^3}}[/mm] erweitert?...
Das ist nicht notwendig, aber wenn du mal die Terme in Zähler und Nenner ausmultiplizierst, erhältst du in Zähler und Nenner Terme der Größenordnung [mm] $k^3$, [/mm] die du durch die Erweiterung wegbekommst (alternativ und weniger umständlich: kürzen)
>
> [mm]={\bruch{(2+\bruch{2}{k})(2+\bruch{1}{k})(1+\bruch{1}{k})}{(3+\bruch{3}{k})(3+\bruch{2}{k})(3+\bruch{1}{k})}}[/mm]
>
> und zum allerletzten schritt... wie kommt der überhaupt zu
> stande? wurde da gekürzt, zumindest hat der prof das
> gesagt, nur wie ging er da vor?
Nun, klammere aus jedem der Klammerterme mal k aus, was erhälst du dann?
Doch [mm] $k^3$ [/mm] in Zähler und Nenner. Die kannst du wegkürzen bzw. das umständlicher mit der obigen Erweiterung wegbekommen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 16.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
ohh man... vielen dank... habs verstanden!  ...
ganz oben, wo ich mit dem kehrwert multipliziert habe, was passiert denn überhaupt mit diesem term?, der wurde niergends weiter aufgeführt... ich meine der letzte schritt war dann folgender :
[mm] ={\bruch{(2+\bruch{2}{k})(2+\bruch{1}{k})(1+\bruch{1}{k})}{(3+\bruch{3}{k})(3+\bruch{2}{k})(3+\bruch{1}{k})}} [/mm] *|x| für [mm] n\rightarrow\infty \bruch{4}{27} [/mm] *|x|
was ist denn mit dem zähler passiert? oder wurde er einfach ausgelassen, weil wir wissen, dass dieser gegen unendlich konvergiert?
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Hallo nochmal,
> ohh man... vielen dank... habs verstanden! ...
>
> ganz oben, wo ich mit dem kehrwert multipliziert habe, was
> passiert denn überhaupt mit diesem term?,
Nun, das ist der ein oder andere Zwischenschritt ausgelassen.
Die Lücken solltest du aber unbedingt selber füllen können.
Das sind wirklich Standardumformungen, die du beherrschen musst, das ist ne typische Klausuraufgabe!
Es ist [mm] $(n+1)!=(n+1)\cdot{}n!$
[/mm]
Damit zB. [mm] $(3(k+1))!=(3k+3)!=(3k+3)\cdot{}(3k+2)\cdot{}(3k+1)\cdot{}(3k)!$
[/mm]
Den Rest analog, dann ausgiebig kürzen und den Grenzübergang machen so wie im weiteren geschehen
> der wurde
> niergends weiter aufgeführt... ich meine der letzte
> schritt war dann folgender :
>
> [mm]={\bruch{(2+\bruch{2}{k})(2+\bruch{1}{k})(1+\bruch{1}{k})}{(3+\bruch{3}{k})(3+\bruch{2}{k})(3+\bruch{1}{k})}}[/mm]
> *|x| für [mm]n\rightarrow\infty \bruch{4}{27}[/mm] *|x| ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> was ist denn mit dem zähler passiert? oder wurde er
> einfach ausgelassen, weil wir wissen, dass dieser gegen
> unendlich konvergiert?
Nein, da ist massivst gekürzt worden, vollziehe es mit den obigen Bemerkungen nach
Nun hast du gem. QK also (absolute) Kovnergenz für [mm] $|x|\cdot{}\frac{4}{27}<1$, [/mm] also [mm] $|x|<\frac{27}{4}$
[/mm]
Und entsprechend Divergenz für [mm] $|x|>\frac{27}{4}$
[/mm]
Bleiben die Randpunkte [mm] $|x|=\frac{27}{4}$, [/mm] also [mm] $x=\pm\frac{27}{4}$ [/mm] zu überprüfen, dazu sagt das QK ja nix.
Setze diese x-Werte in die Ausgangsreihe ein und untersuche auf Konvergenz.
LG
schachuzipus
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